BC— CB''~'GA'— AC'~"AB' — BA

Ces conditions sont nécessaires ; elles sont aussi suffisantes.

9*33. Transformation bomographiqne de l'£llip-

soide. Les formules générales de la transformation homographique, dans l'espace, sont

U, V, W, p, désignant des formes linéaires des coordonnées X, Y, Z, du point qui correspond à celui dont les coordonnées sont désignées par a?, y, z.

On vérifie facilement qu'en résolvant les formules précédentes par rapport à X, Y, Z, on a

(a) Xrz^ Y = H, z = ^,

u, V, Wy P, étant des formes linéaires des lettres a?, y, z.

Les formules (i) prouvent : i® qu'à un point m, correspond un seul point M; 2® à un plan p^ un plan P ; V enfin, à une

droite 5, une droite A.

Les formules (2) prouvent la réciprocité de ces propositions fondamentales.

Si Ton veut faire correspondre une sphère à l'ellipsoïde ; on pourra prendre les formules de transformation suivantes :

284 VlNGT-DEUXIÊME LEÇON

avec la condition

Les formules :

sont celles qui offrent l'exemple de la transformation homographiquô la plus simple.

L'équation

- + Xi + -. — 1 = o , devient X*+ V-j- Z'— R* - o ;

abc ' '

ainsi à V ellipsoïde correspond une sphère. On voit aussi (pour citer la propriété la plus saillante de cette transformation) qu'à deux diamètres 8, 5',

correspondent deux diamètres A, A' de la sphère ; et ces droites ont pour équation, respectivement,

,,. aX h\ cZ ,^,, a\ h\ ' cZ

Si les droites 3 î' sont deux diamètres conjugués de l'ellipsoïde, on a (§ 268)

Cette relation établit que les droites A, A', sont rectangulaires.

La propriété que nous avons voulu signaler peut donc se formuler dans les termes suivants : A deux diamètres conjugués de Vellipsoïde correspondent deux diamètres rectangulaires de la sphère correspondante.

L'ELLIPSOÏDE 28o

Onvoil, de même, qu'à deux plans diamétraux conjugués , correspondent deux plans rectangulaires.

ftll4L. Application. Parmi les conséquences de cette observation, nous ferons remarquer qu'à un système triplement conjugué de l'ellipsoïde, correspond un système triplement rectangulaire dans la sphère transformée.

Si l'on prend le cônec, ayant pour équation,

à cette surface correspond un autre cône C, dont Téqualion est

Si (c) est capable d'un trièdre triplement conjugué inscrit, (C) est capable d'un triède trirectangle. On retrouve ainsi la condition déjà signalée,

relation qui exprime que (c) représente un cône capable d'un trièdre triplement conjugué.

De même, si l'on veut exprimer que l'équation

A^«^ Ay + AV+ 2By^+ 2B'zx-\- iWxy :=. o ,

représente un cône capable d'un trièdre triplement conjugué circonscrit, on pourra considérer le cône transformé qui a pour équation

ka*V + Mb*T + M'er + iBhcXZ + 2B'caZX + 2B''a6XY = o

et qui, lui, est capable d'un trièdre trirectangle, si l'on a (§248).

(AA' - B''*) a'b' + (A'A" - B* ) b*c' + (A^'A ~ B'') cV = o.

Cette relation exprime donc qu'un cône donné est capable d'un trièdre triplement conjugué circonscrit. ^VS, Détermination des axes d'une section plane.

Le problème dont nous allons indiquer rapidement la solution peut s'énoncer ainsi :

On donne réqtuztion d'un plan P,

(P) ouc + ?^y + yz::zb.

et Von propose de trouver :

1** La direction ; 2** la grandeur des axes de la section S, faite dans r ellipsoïde par le plan (P).

Premier eas, S = o. i° Pour trouver la direction des axes, on désignera par a?', y', 2', les coordonnées d'un sommet M de S et l'on écrira que la droite A qui correspond aux équations

est perpendiculaire sur la droite A', droite qui est tangente à S aii point considéré et dont les équations sont :

(A') j a* "^ 6* "^ c* ""* ( ax-\-6y -\-yz=:o

On arrive ainsi à Tégalité

2*» Pour avoir la grandeur des axes, on coupe la quadrique par une sphère S, de rayon OM m R, et correspondant à l'équation

puis Ton [considère le cône C, qui a pour sommet le centre de l'ellipsoïde Q, et pour directrice la courbe F, commune à S et à Q ; son équation est

La tangente MT à F au point M (a?', y' y z') est perpendiculaire à OM, puisque F est une courbe sphérique, et elle appartient au plan tangent à Q, en ce point M ; la droite MT' tangente à la section S, en ce même point M est, elle aussi, perpendiculaire à OM, parce que M est un sommet de S. Si les deux droites MT, MT', ne se confondaient pa», TMT' serait le plan tangent à^Fellipsoïde, au point M ; mais le plan TMT* étant perpendiculaire à OM, ce fait géométrique ne peut avoir lieu que si M est un sommet de la surface.

Ce cas étant écarté, on voit enfin que le plan tangent au cône G n'est autre chose que le plan sécant proposé.

En identifiant les deux équations :

<xx + 6y + yz = o, et, en remarquant que

0^ + ^y' + yz' zzo, on a, finalement,

a a bo c-f

Cette équation bicarrée, par rapport à R, a ses racines toujours réelles. La forme de Téquation (B) prouve ce fait en montrant que les racines sont séparées par la suite :

Oeaxième cas* S == o« Lorsque le plan P ne passe pas par le centre de la quadrique, on imagine un plan P', parallèle à P, et passant par 0. Les plans P et P' coupent la quadrique suivant deux ellipses E, E' ; on remarquera d'abord que le centre 0' de E' est à l'intersection de P avec le diamètre conjugué de ce plan et que les axes de E' sont deux droites menées par 0', parallèlement aux axes de E.

On observe ensuite que les sections E, E', sont des courbes homothétiques el que Ton a

Il* ^ a*

p désignant Tun des axes de E', h la longueur 00' et a celle

du demi-diamètre conjugué de P. Ainsi, on peut toujours

h déterminer, après avoir préalablement calculé - , les axes

d'une section centrale au moyen de Téquation (B).

996. Remarque. On peut aussi trouver Téquation (B), mais sous une forme moins commode, en s'appuyant sur les théorèmes d'AppoUonius et sur l'invariance de la forme

EXERCICES

I. Établir, sans avoir recours aux invariants^ que si autour du centre d*un ellipsoïde on fait tourner un trièdre trirectangle, on a