OA OB OC
A, B, C désignant les points de rencontre des trois arêtes de trièdre avec la surface,
1t, Trouver Vaire d'une section plane.
3. On considère tous les plans P qui^ passant par le centre de l'ellipsoïde, coupent cette surface suivant des ellipses dont Vaire est constante et égale à celle d'un cercle de rayon m ; trouver le lieu décrit par les normales menées, aux différents plans P, par le point 0.
En s'appuyant sur l'équation (B), on Irouvera
7/1* (aV + by + cV) = a*b*c *{x* + y' + z') .
L'ELLIPSOÏDE. (Les Normales.)
ft^^K, Équations de la normale. Soient x, y, z les coordonnées d'un point pris sur l'ellipsoïde ; les équations de la normale, en ca point, sont (§ 94)
£. iL £
Ces équations conduisent à quelques conséquences que nous allons développer.
998. Théorème. Par un point Mo, pris dans V espace, on peut, généralement, mener à Vellipsoïde six normales; deux de ces normales sont toujours réelles.
Désignons par iCo, y», ^o, les coordonnées du point considéré Mo; la droite qui correspond aux équations (N) passant par ce point, nous avons
Xq — x yo-^y z^ — 2
' — A désignant la valeur commune de ces rapports ; X est donc une inconnue auxiliaire que nous introduisons et nous allons chercher l'équation qui la détermine.
Les relations (i) donnent
X aXp y __ byo z cZp .
Db L. Tome III. « 9
et, en exprimant que le point {x, y, 2) est situé sur l'ellipsoïde, on a
ou
(1) (ei« - X)« (6* - X)* (c^ - Xr - a*^: (6* - X; {e - X)« - bY, (c- ~ Xr (a* - X)* - c*^: (a^ - X)* (6* - X)» = o .
Celte équation est, en général, du sixième degré ; comme à toute valeur de X correspond, d'après les équations (i), une normale; on voit que le nombre des normales issues d'un point est, en général, égal à six.
Nous allons montrer que, parmi ces normales, deux sont toujours réelles.
Si dans l'équation (2) nous substituons, successivement, à
la place de X, les valeurs : — 00, a* et + «>> nous obtenons les résultats suivants :
+ 00, — a'a?J (ô^ — «•)* (c' — a% et +00,
L'équation (1) a donc deux racines réelles au moins. Celte remarque établit complètement la propriété énoncée, parce qu'on sait que les racines réelles de Téquation (2) donnent, d'après (1), pour les inconnues a?, y, z, des valeurs qui vérifient l'égalité
et qui, par suite, sont acceptables ; x devant être compris entre + a et — a, y entre -f- 6 et — b ; enfin, z entre -{-cet — c.
999* 11ié«»réme de Chasles. Les six norntales que Von peut mener Sun point à V ellipsoïde appartiennent à un même cône du second ordre.
Les équations (1) peuvent être transformées, comme nous allons le montrer. Prenons la première :
a*y [x — Xo) — b*x (y — y») zz 0.
L'ELLIPSOIDE 291
Il est naturel, pour la démonstration du théorème qui nous occupe, de mettre en évidence les binômes x — Xo,y — t/o, z — Zo. Écrivons donc l'équation précédente sous la forme :
«* (y — VoVk^ — ^o) -h a\jo {x — Xo) — b* {x — ■ x^) {y — ^o)
'-b'xo{y — yo) = o,
ou, sous celle-ci, qui est équivalente,
(C ) (a*— b*) {y — yo) [x — Xo) -+■ a Vo {x — x^) — b*Xo (i/ — jfo) = o .
Nous trouvons de même,
( A) (6*— c*) {z — Zo) (y — yo) -+■ b*Zo {y — yo) — c*yo (z — Zo) = Oy ( B) (c'— a*) (x — Xo) (2 — Zo) -h c*Xo {z — Zo) — a*Zo (a; — a?o) = o .
Si nous multiplions ces égalités (A), (B), (C), respectivement par X09 yo, ^o ; puis, si nous ajoutons les résultats obtenus, nous avons
(r) (a* — b*) Zo (x — Xo) {y — yo) -h {b' — c*) Xo {y — yo) {z— Zo)
-h (c* — a*) 2/0 [^ — Zo) (x — Xo) = 0.
Le premier membre de cette équalion étant une fonction entière des binômes x — Xoy y ^ yo, z — z^, nous voyons donc que les six normales qui partent du point {Xo, yo, Zo) sont situées sur un cône ; ce cône admet aussi, parmi ses génératrices, les droites qui correspondent aux équations :
ix^Xo = o, j y~2/o = o, j.^-.,=:o,
( y— yo = o; '^ I z — Zo=o; } x — Xo:=:o;
droites qui sont les cordes principales passant par le point considéré.
^80. Théorème. Les pieds des six normales issues d'un point à rellipsoïde, appartiennent à une cubique gauche.
Reportons-nous aux équalions (N) ; elles peuvent s'écrire sous la forme :
U == xy (a* — 6* j — a*Xoy 4- b*yoX = o, y = yz {b* — C-) — b^yoZ -h c'XoV := o, W = zx (c' — a'} — c*ZoX -h a*XoZ m 0.
Multiplions-les, respectivement, parc'^o, a'iCo, ô* ^o; nous avons, par cette combinaison,
(A) c^z^ (a* — 6*) xy -f- à^x^ {b* — c*) yz + 6Vo (c* — a*J ;za; = o .
Les équations F F représentent deux cônes du second ordre et il est remarquable que la droite qui joint le centre de l'ellipsoïde au point Mo, est une génératrice commune à l'un et à l'autre. L'interseclion de ces cônes se compose donc i°de la droite OMo; a» d'une courbe gauche C, du troisième ordre.
L^intersection de cette dernière avec la quadrique donne six points qui sont, précisément, les pieds des six normales issues du point considéré Mo, à l'ellipsoïde.
981. Propriétés de la enblque g^auehe C9 aux pieds des normales.
1° Nous voulons faire remarquer d'abord que la courbe î,
qui nous occupe, est unlcursale.
Nous appelons courbe gauche unicursale celle qui jouit de la propriété que les coordonnées d'un point mobile sur elle peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles, entières ou. fractionnaires, d'un paramètre variable t.
Par la droite OMoi faisons passer un plan mobile P; il coupe r suivant deux génératrices : Tune est OMo, l'autre une droite A. De même, T' est coupé par P suivant deux génératrices. Tune d'elles est encore OMo, l'autre est une droite A'. Ces droites A, A' se coupent en un point I, qui appartient à la cubique gauche. Les coordonnées de I sont donc bien déterminées ; elles n'admettent qu'une valeur et, par suite, s'expriment rationnellement au moyen du paramètre variable t, qui entre dans l'équation du plan P.
2** Les directions asymptotiqties de la cubique Ç, sont les directions principales de l'ellipsoïde; car si l'on considère la position particulière du plan P, position obtenue en menant par OMo un plan parallèle à OX, les génératrices d'intersection sont alors : Taxe OX, pour F'; et une parallèle à
L*£LLIPSOIDE 293
OX, pour r. Ces deux droites donnent un point situé à Tinfini, sur la cubique, dans la direction OX. Cette remarque s'applique aux axes OY et OZ.
3** Enfin on peut encore observer que la cubique Ç, passe toujours par les points et Mo. Ceci se vérifie facilement par les équations (F) et (P); on peut aussi reconnaître cette propriété, en se reportant à la génération, point par point, que nous avons indiquée pour la cubique Ç. Il suffit de considérer la position particulière du plan mobile P. qui correspond aux plans tangents, le long de OMo, au cône F, et au cône F'.
989. Éqaation générale des quadriques passant par les pieds des monnaies.
Cette équation est
(i) E + XU-f ii.V + vW = o;
E désigne le premier membre de Téquation de l'ellipsoïde; U, V, W représentent, quand on les égale à zéro (§ 280), les cylindres projetant la cubique sur les plans principaux; enfin, X, [X, V sont trois paramètres arbitraires.
En effet, Téquation (1) est visiblement vérifiée par les coordonnées de Tun quelconque des pieds des normales; d'ailleurs, elle renferme trois paramètres variables et indépendants; la quadrique cherchée passant déjà par six points, on reconnaît ainsi que (i') est bien Téqualion demandée.
983. Formales de Joachlmsthal . Du point Mo (^o, yo, ^o) partent, comme nous l'avons fait voir, six normales à Fellipsoïde. Désignons par A, B, C ; A', B', C ; les pieds de ces normales que nous séparons, arbitrairement, en deux groupes. Les trois points A, B, C, constituent un premier groupe, et nous désignerons par M (a, 6, y) le pôle du plan ABC; de môme M' (a' 6' y') représentera le pôle du plan A' B' C qui passe par les pieds des trois autres normales*
Les formules de Joachimslhal, analogues de celles que
294 VïNGT-TROISlEME LEÇON
nous avons établies dans la géométrie plane (§ 292), sont les suivantes :
oLx' = - a\ 65' = - b\ r(' = - ^' i
nous allons les démontrer (*).
Les plans ABC, A'B'C, constituent, par leur ensemble, une quadrique particulière passant par les pieds des normales et dont réqualion est
L'équation (1), du paragraphe précédent, représentant toutes les quadriques passant par les pieds des normales, ridenlité
doit être vérifiée pour des valeurs convenablement attribuées aux paramètres X, (jl, v et K.
Cette remarque sert de base aux calculs qui suivent.
En égalant les constantes des deux membres de l'identité (3), on a, d'abord,
Kiz — 1.
Les coefficients des termes en x*, y*, 2*, donnent alors (J) aa'---a', 6'o'=^b\ ^^'ziz^c\
Co sont les formules que nous avions annoncées.
i.Ces formules n'ont peut- êlrc pas été données explicitement p&r JoGLchïmsthal, mais elles résultent implicitement de certaines équations renfermées dans les mémoires si remarquables de ce géomètre. Voir notamment le mémoire cité à l'exercice 3.
5S84. Surface normo-iKilaire. En poursuivant, comme il est naturel de le faire, Tidentification des deux membres de ridentité (3), nous allons aboutir à un résultat remarquable et montrer que les points M, ou M', appartiennent toujours à une surface du quatrième ordre, que M. Desboves(*) parait avoir signalée le premier et qu'il a nommée surface normo-polaire.
En égalant les coefficients des termes en xy, yz et za?, on a, en tenant compte des formules (.1),
a6 {a* — 6*) ' 67 {b* — c*) "" ya (c* — a*)
et Ton peut écrire, sous la forme explicite, l'identité (3) de la manière suivante :
^ { yz (y- c*) - b*yoZ -h c'z^ \
— - [ zx {c* — a*) — c'^oO? — a^XoZ \
Écrivons maintenant que les coefficients des termes en a:, y, z, sont égaux et nous obtenons trois relations nouvelles dans lesquelles entrent les coordonnées {Xç, yo, Zo) du point M©. Ces équations du premier degré sembleraient devoir bien déterminer ces paramètres, mais une étude plus attentive va nous montrer que ces équations sont indéterminées, ou in-
1 Desboves. Théorèmes et problèmes sur les normales aux coniques, MaUet-Bacbelier, 1861.
porapatibles, suivant que M. est placé, ou non, sur une certaine surface que nous allons faire connaître.
Les équations qui déterminent x», y,, et z, sont, d'après (3'), et en tenant compte des formules (J),
«•~YC*-o*\a' cV 6 o*— 6*W"^ôV'
^ M * b'~ * a'— 6* \6* "^ aV y *' — c' ^ft' c'/ ' Y'y. ft* /y* 6'\ Jg. g* /y* »\ c* ~ 6 &•— c' V 6* / a c*— a' \c* a*J '
Multiplions ces égalités, respectivement, par
puis, ajoutons les résultats obtenus, et nous avons F^^'V ~â') \b''^?) '^7^^'V ~b'j (?"^^)
Srr6.(*-jï)(J+6-.)=«-
D'après ce résultat, si les coordonnées a, 6, y vérifient réqualion(*)
les équations (4) sont compatibles, et il existe une infinité de pôles normaux correspondant au pôle tangentiel proposé; si, au contraire, le pôle tangentiel n'apparlient pas à la surface normo-polaire, il n'y a pas de pôle normal correspondant.
