Cette équation peut encore 8*écrire
(D') 2 («• - by (a'b'z' - c'a^y') - o ,
forme sous laquelle M. Desboves l'a rencoatrée.
EXERCICES
fl . On considère deux points W M" sur V ellipsoïde ; les normales en ces points coupent un plan principal, le plan XOY par exemple, en deux points P' P". On obtient ainsi, sur les plans principaux, trois segments P' P", Q' Q", R' R'' ; démontrer que les milieux de ces trois segments et le milieu de M' M"^ sont quatre points situés dans un même plan perpendiculaire à M' M".
On résout, sans difficulté, cet exercice en introduisant les coordonnées x', y', z' ; x", y", z", des deux points M', M''. Celles du milieu de P' P'' sont alors
et, en tenant compte de la relation :
x'* — af* y'* — y"* z'* — z"*
i ' n ' li — — ^»
on reconnaît que le plan élevé au milieu de M' M", perpendiculairemeut à cette droite, plan qui est représenté par l'équation
passe par le point (À).
S. On considh^ une normale à ^ellipsoïde, au point M ; soient A, B, C les points oit elle rencontre les plans principaux ; démontrer que Von a
MA MB MG 1 a' ~ b* ~ c' ~0\V
OH désignant la distance du centre au plan tangent en M. 3. Soient Ai, ^2, hi trois points de la surface
points pour lesquels les normales concourent au même point h; en désignant par p, q^ r, les coordonnées du pôle du plan hi, Aj, A3, il existe trois autres points /i4, As, As, de la surface^ pour lesquels lex no7*males concourent en A, et ces points sont situés dans le plan :
(JOACHIMSTHAL.)
Ce théorème élégant résulte immédiatemenl des formules deJoachimstbal, en considérant les pôles tangentiels des deux plans Ai A| A3, A4 A5 As ; il a été démontré par l'auteur par une méthode relativement longue. (V. Journal de CrellCf t. LUI, p. i49 à 172.)
4. Le centre de la sphère qui contient les pieds de quatre des normales
que Von peut abaisser, d'un point donné M, sur une sur /ace du second
ordre Q, est le milieu du segment qui joint le point M au centre du plan qui
contient les deux autres noi^males,
(Lagdkrre.)
M. Laguerre a proposé d'appeler centre d'un plan représenté par l'équation
le point dont les coordonnées sont p, q, r. (V. Nouvelles Annales, 1878' p. 167).
5. D'un point M on abaisse- des normales sur V ellipsoïde ; MAi^ MA2, . . . MAe ; et Von considère la cubique gauche V aux pieds des normales, courbe qui passe par le centre ; par on mène un plan parallèle à MAijAs, plan qui coupe V en deux autres points B, C ; ces deux points et les quatre pieds A3, A4, As, Ab, appartiennent à une même sphère,
(Lagu:rre.)
LES FOCALES (')
. Déflnitions. Parmi les propriétés des quadriques qui offrent quelque analogie avec celles que nous avons rencontrées dans rélude des coniques, nous voulons citer celles qui sont relatives aux foyers. Mais nous ferons observer, à ce propos, que les propriétés des courbes planes ne se transportent pas, aux surfaces du même ordre, sans subir, presque toujours, quelques transformations ; tout en conservant une certaine analogie qui explique la transition entre Pidée qu'on a développée dans la géométrie plane et celle qu'on se propose d'étudier dans l'espace.
1. Les courbes que nous appelons, dans cette leçoD, coniques focales, ont été particulièrement étudiées par Ghasles qui les a nommées coniques excentriquesL {Mémoires de V Académie de Brwcelles, 1829 ; Aperçu historique, p. 384.)
Le mot de coniques focales a prévalu dans Tenseiguement et dans les livres ou mémoires qui traitent de ces courbes. Ghasles dit lui-même {loc. cit.) que cette expression lui paraît préférable. l\ ne l'a rejetée que pour un motif vraiment insuffisant, Quetelet ayant employé le mot focale pour désigner la cubique qu'il avait rencontrée dans la recherche d'un certain lieu géométrique. (V. ex. 1, de cette leçon.)
Mais l'expression de Quetelet doit être rejetée; non seulement parce que toute ligne, lieu des foyers de certaines sections planes d'un quadrique,pourrait être appelée focale, au même titre que la cubique en question^ mais aussi parce que cette courbe (que Ghasles, pour tourner la difficulté, proposait d'appeler le focoïque) a un nom et des propriétés qui la caractérisent nettement. G'est la strophoïde oblique courbe qui, comme nous l'avons ru, {Géom. plane, § 399), est définie par les propriétés suivantes : 3° elle est du troisième ordre ; 2^ elle passe par les ombilics du plan : 3^ elle possède un nœud à tangentes rectangulaires.
On a donné pour les foyers des quadriques, ^des définitions diverses (*; ; Nous adopterons la suivante.
Un point F estait foyer d*une quadrique^, lorsqu'il existe detix plans P, P', associés à ce point, et qui jouissent de la propriété que si ron prend sur S un point quelconque M, le carré de la distance MF, est au produit des distances de M aux deux plans P, P', dans une raison constante,
La droite commune aux deux plans P, P', associés au foyer F, se nomme la directrice correspondante à F.
L'existence de ces points et de ces droites ne résultant pas, d'une façon évidente, de la définition précédente, nous devons montrer d*abord que Ton peut trouver dans les quadriques de pareils points et de semblables droites.
Nous supposons que S est une quadrique à centre; mais, pour n'avpir pas à distinguer les genres différents, nous
1. Sur cette importaDte question on peut consulter les livres et les mémoires suivants :
Magnus. Annales de GergonnCy tome XVI, p. 33, 1825-1826.
Mac GuLLAGH. Proceedings of the Royal Irish Academyy vol. II, p. 446 ;
ToWNSEND. Cambridge and Dublin mathematical journal, vol.IIl, pp. 1,97, 148 ; 1842.
Chasles. Mém. de ^Académie de BruojelleSf 1829. — Comptes rendus, 1835. — - Aperçu historique^ 1837 ; note XXXI, p. 384.
AjtriOT. Journal de Liouville, tomes VIII et X ; 1843 et 1845.
Salmon. Traité de Géométrie analytique à trois dimensions ; 1862.
Briot et Bouquet. Complément de la Géométrie analytique ^ p. 261,
Pain VIN. Principes de la Géométrie analytique à trois dimensions. Géométrie de l'espace, 2« partie, p. 314 ; 1870.
Nous ajouterons à ces renseignements que c'est à Plugker que Ton doit une définition des foyers, s'étendant à toutes les courbes et à toutes les surfaces. Cette définition très féconde, malheureusement plus analytique que géométrique, et que nous avons craint d'adopter dans ce traité élémentaire est la' suivante :
Un point F est foyer d'une courbe V quand le cercle de rayon nul ayant son centre en F est bitangent à V
Cette définition s'étend à l'espace avec une analogie complète ;
Un point F est foyer dune surface S, quand la sphère de rayon nul, ayant son centre en F, est bitangente à S.
Les focales des surfaces, quel que soit Tordre de celles-ci, sont les courbes constituées par l'ensemble, ou lieu, des foyers.
LES FOCALES . 301
représenterons Téqualion de la surface par la notation suivante :
!iS86. Théorème. H existe dans les quadriques à centre une infinité de foyers ; ces points sont sittœs dans les plans principaux, sur des coniques réelles ou imaginaires, dites coniques focales.
Désignons par x, y, z, les coordonnées d'un point M, pris arbitrairement sur la quadriqueS; et soient a, 6, y, celles d'un foyer F de cette surface. Les plans associés étant représentés par les équations :
P = o,P' = o, Nous avons, d'après la définition du point F,
Dans cette égalité K désigne, bien entendu, une constante. La relation (2) étant vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de S, les premiers membres des égalités (1) et (2) sont identiques, à un facteur constant près.
Écrivons donc,
(a;-«//+(y ê<)*+(2-ï/r-KPFs:x(|.* + |' + J-<'),
ou
(3) (a.a«)' + (î/-6')*+(2-ïO'-'^(x+|' + ^*-<') = KPF'.
Le second membre de cette identité étant, abstraction faite de la constante K, un produit de deux formes linéaires en X, y, z, ty nous pouvons remarquer qu'il est identique à une différence de deux carrés ; par suite, la forme quadratique qui constitue le premier membre admet un discriminant h, dont tous les mineurs du troisième ordre sont nuls.
Nous avons, d'ailleurs,
Le mineur:
étant nul, on doit supposer, successivement, que les fadeurs
1 , i — - , 1 — -sont nuls.
ABC
En premier lieu, prenons le cas où l'on a X = G, et par
conséquent.
li =
Parmi les mineurs de ce détei minant, distinguons d*abord celui qu'on obtient en supprimant la troisième colonne et la quatrième ligne ; en l'égalant à zéro, nous avons
LES FOCALES
el, par suite,
Si, comme nous le supposerons formellement, la quadrique considérée n'est pas de révolution.
Le déterminant h peut s'écrire alors :
hz=.
Tous les mineurs du troisième ordre de h seront nuls si nous écrivons que
