Détermination de la Direetriee. Tiiéoréme
Si Von prend sur la focale (Z) un point F, la directrice correspondante A s'obtient par la construction suivante : ayant mené à (Z) une tangente PQ, au point F, la directrice passe par le pôle ç de PQ, par rapport à la section principale AB du plan YOX ; de plus, elle est parallèle à OZ.
Prenons maintenant, pour plus de précision, la nolalion de Tellipsoïde et faisons dans l'identité (3), (§ 286) y, 1= o et X zz/î ; nous obtiendrons ainsi les facteurs P, P' ; et, par suite, les équations de la directrice.
Posons donc, d'après cette remarque.
LES FOCALES
OU
Eq complétant les carrés des expressions :
et en tenant compte de la relation :
on vérifie que U est une somme de defux carrés. Mais pour obtenir la directrice, c'est-à-dire la droite intersection des plans qui correspondent à Téquation U = o, il suffit de prendre les dérivées partielles de U, par rapport à a? et à y ; Tarête des deux plans étant .considérée comme une ligne de centres.
Fig. 3j.
Ainsi, les équations de la directrice sont :
De L. Tome lU*
306 VINGT-QUATRIËME LEÇON
La droite PQ, tangente à la focale, au point ÏF, a pour équation
et, si nous cherchons les coordonnées du pôle 9 de cette droite, par rapport à Tellipse principale du plan YÔX, nous trouvons, justement, les formules (A). Ainsi, la directrice correspondante au point F est déterminée, comme nous Tavons dit.
989. Théorème. Les plans associés d'un foyer F sont les plans cycliqties qui passent par la directrice correspond dante A.
Cette propriété résulte immédiatement de Tidentité (3), (§ ^86).
Nous ferons aussi remarquer, à propos de cette identité, que si Ton considère le j^om^^i^^ére qui correspond à l'équation
l'intersection de cette sphère évanouissante, ayant pour centre le point F, avec la quadrique proposée, est constituée par un système de deux plans. On peut donc dire que : le foyer est un point-sphère qui a un double contact avec la qtcadrique y la droite qui feint les points de contact étant la directrice. Cette propriété, qui est l'analogue d'une propriété du foyer dans les coniques, a été prise par Plûcker pour définir les foyers dans les quadriques (V. la note p. 3oo).
990. Foyers de première et de seeonde espèee. Dans l'identité (3), lorsqu'on prend pour X l'une des valeurs A, B, ou C, si le point (a, 6, yO appartient à une des coniques focales, le premier membre est une somme ou une différence de deux carrés.
Dans le premier cas, les plans associés au foyer considéré sont imaginaires ; ils sont réels, quand on envisage la seconde hypothèse.
LES FOCALES 307
On a quelquefois distingué ces deux èas et appelé foyers de première espèce ceux qui correspondent à des plans associés réels ; les autres sont dits foyers de seconde espèce.
ftB'È.Tltkéovénke. Les focales représentent le lieu géométrique des sommets des cônes de révolution circonscrits en la qv^rique correspondante.
Ce théorème se reconnaît immédiatement par des considéralions géométriques en imaginant une sphère inscrite dans le cône, et en supposant que le centre de cette sphère se déplace et vient coïncider avec le sommet du cône. On peut alors considérer ce point comme représentant une sphère évaiiouissante, doublement tangente à la quadrique. Mais on peut aussi établir la propriété en question par l'analyse, comme nous allons l'indiquer.
L'équation d'un des cônes considérés est
(x* y* . 2* \ /a/* y'* , 2'* \ txai . yy' zz' \*
Si nous supposons, d'abord, a/y'^' ;zf o, les conditions connues :
B'B" BB" BB'
A g-A--, —A -gj-
appliquées à l'équation précédente donnent ;
Si les nombres a, 6, c ne sont pas tous égaux, il n'y a pas, dans Vhypothèse que nous avons faite, d'autre solution à ces équations que E' = o, solution singulière, évidente a priori, mais sans intérêt.
Si, au contraire, on suppose orzftzr c, les égalités (i) sont des identités; tous les points de l'espace répondent à la question ; ce résultat est encore évident.
Revenons, maintenant, sur Thypothèse que nous avons faite et supposons que le produit ody'z' soit nul»
En admettant que Ton ait jî'zzo, deux des rectangles disparaissent, à savoir les termes en yz et xz; et en appliquant la condition connue :
W' = [k — k")[PJ-'k"\ nous trouvons
Cette équation peut s'écrire a'b'l a'b' U* I \à' j \ ~ c' \a'"^ b'
Nous apercevons alors le facteur commun
et ce résultat pouvait être prévu, a priori, puisque tous les points de la surface, à litre singulier, font partie du lieu. Toute réduction opérée, nous trouvons
« ^* t ui ^t — * J
et nous pouvons enfin conclure que le lieu cherché est bien la focale située dans le plan YOX.
En supposant, successivement : a/ rr o, y' — o, 0' — o ; on trouve, pour le lieu complet, les trois coniques focales.
5Î09S. S^urfaces homofocales* (Définition, équation générale.) On dit que deux quadriques Q, Q', sont homofocales lorsqu'elles admettent les mêmes focales. Deux surfaces homofocales ont donc, d'après cela, les mêmes plans principaux.
Si Ton considère l'équation
, . ^ X* if , z^
LES FOCALES 309
une surface, homofocale à Tellipsoïde qu'elle représente, pourra être représentée par Tégalilé
Pour que les équations (i) et (2) représentent des quadriques ayant les mêmes focales, il est nécessaire et suffisant que Ton ait :
A~C = a*-^c% et B^C=:6' — c',
ou
X désignant la valeur cjmmune des binômes A — «*, B — 6*,
Ainsi, réquation générale des surfaces homofocales à la quadrique (E zz: 0), est
(H) ——^.-d^^——:zx , à: -f- k h 4- A r T- a
X représentant un paramètre variable.
1S03. Théorème. Par un 'point de V espace passent trois surfaces réelles^ homofocales à un ellipsoïde donné.
Prenons un point M' dans Tespace; soient x'^ y\ z\ ses coordonnées. L'équation (H) que nous venons d'établir prouve que nous avons, pour déterminer X, Tégalité
Cette équation, rendue à îa forme entière, est du troisième degré ; et le terme tout connu est différent de zéro si, comme nous le supposons, M' n'est pas pris sur l'ellipsoïde proposé. De plus, la forme bien connue de l'équation (1) prouve que celle-ci a trois racines réelles, séparées par la suite :
1994. Théorème. Les surfaces Si, 22,, S3, homo focales à une quadrique S, sonty deux à deux, orthogonales.
Nous venons de vérifier que par un point M' passaient trois surfaces S,, Sa, S3 homofocales à un ellipsoïde donné.
Soient
les équations des deux surfaces D,, H,. Ces quadriques étant homofocales, nous avons
Cela posé, représentons par a/, y\ z\ les coordonnées d'un point M' commun à S, et à Sj ; les plans tangents P, P', à ces surfaces, en ce point M', ont pour équation, respectivement,
xx' yy* zz' xx' yy' zz'
Le théorème que nous avons énçncé sera démontré si Ton peut vérifier que Ton a
x'* y'* 2" ^'> ÂÂ^-^BB^"^CC' = "-
Or, les deux égalités :
ic" y" z" a;" y'\ ^
donnent, par combinaison,
x'* (A ~ A') y'* (B — BQ z^'lC — C' ) __ AA' + BB' "^ œ " " ""
ou, en tenant compte des relations (i),
AA' ' BB' ' ce
LES FOCALES
Les plans P, P', sont donc perpendiculaires; et nous pouvons conclure de cette remarque que les trois surfaces S,, Sj, S3, qui correspondent à une valeur donnée à X dans l'équation (H) forment un système triplement orthogonal, quand on fait varier le'paramètre X.
EXERCICES
I 1. Théorème. Le lieu des sections faites dans un cône 2, par des plans passant par une droite A, tangente à ce cane, et perpendiculaire à une arête se, est une strophotde oblique,
(QUBTBLBT.)
Fig. 32.
Prenons les axes qu'indique la figure, soit OA la trace du plan sécant mobile sur le plan YOX ; posons
SO = d SOX - a, 0F = p, FOX zi w.
Nous avons :
