V-OABP.CH
En posant
OA — a, OB == 6, OC zr c, il vient
Vizaôsinv \/c' — Ôh'.
Abaissons du point H des perpendiculaires HK, HL, sur OX et sur OY ; le quadrilatère inscriptible OHKL donne
0H=: — sin V
et, par suite,
TTTj* ÔL' + ÔK* — nOL.OKcos V
Un — .
sin* V
LKS COORDONNÉES M
Nous avons d'ailleurs
OKzzc cos iJL, OL r: c cos X, et la valeur de OH peut s'écrire sous la forme
OH zz — --(cos'X4- cos* II. — 2 cos X cos [i. cos v). sin V
L'expression de V devient alors
V zz abc y/sin* v — cos'X — cos* p. -+- ^ cos X cos [l cos v, ou '
Yzzabc)/!',, en posant
Aozz 1 — cos'^ — cos* [A — cos*v+2 cosXcosixcosv.
1L9. OIsoassIon et CMileul de la ffonetloik A^. Cette
fonction Ao des angles X, [x, v se rencontre dans plusieurs questions ; nous allons reconnaître que A» est toujours compris entre zéro et Tunilé.
Nous avons d'abord (*)
Ao=(i — cos* X) (i — cos* [x) — (cos*v -|-cos*(j!. cos* X — 2 cos X cos [L cos v),
ou,
Ao zz sin* X sin* jA — (cos X cos (j. — cos v)*.
Cette égalité peut s'écrire encore
^0 z: (sin X sin [j. -j- cos X cosia — cos v) (cos v — cos X cos \x + sin X sin t*),
ou,
A„:z: { cos (X — [x) — cos V } { cos v — cos (X -h [x) }>
1 . Si Ton ne veut pas employer l'artifice de calcul qui suit, on prendra la méthode générale, qui n'est pas beaucoup plus longue, et qui consiste ' à décomposer la forme Ao en la considérant comme un trinôme du second degré, par rapport à cos >.
OU, enfin.
X + U.-I-V lA+v — X V 4-X — UL X-4-IJL — V
ào zz 4cos — cos — î cos — ■ cos — ■ .
Cette expression remarquable de Ao prouve que si, comme nous le supposons, les semi-droites OX, OY, OZ, forment un véritable trièdre, Ao est toujours positif.
La valeur de Ao est, d'ailleurs, inférieure ou égale à Tunité, car l'on a :
ou
1 — Ao = cos"X H- cosV + cos"v — 2 cos X cos [x cos v,
1 — Ao ir (cos X — cos (x cos v/ -h cos'ix sin* v -|- cos* v.
et, par suite,
1 — Aj,>>o.
Remarque. On peut aussi observer que Ao est le discriminant de la forme quadratique
x^-hy^-^z*-^ 2yz cos X -h 2zx cos tA+ 20^ cos v. On a donc
Aoz:
1 cos V cos {X
cos V 1 cos X
COSJX cosX i
On obtient d'ailleurs, immédiatement, la valeur de Ao en considérant le tableau
cos X cos {x cos V
COSX COS[X cosv
et en retranchant, du produit des éléments écrits dans les lignes, celui des éléments placés dans les colonnes.
Ajoutons enfin que si l'on représente symboliquement, comme on l'a quelquefois proposé, par sin (X, {x, v) la quan-
tité v^Ao, valeur comprise enlre zéro et Tunité, la formule qui donne le volume du parallélipipède peut s'écrire sous la forme
V = a6c8in (X,iJi.,v).
13. An^le de deux direettons. {Définition,) Imaginons deux droites dans respace A, A'; et considérons, sur chacune d'elles, la direction positive; si, par Torigioe, nous menons des semi-droites 01, OF, parallèles à ces directions, Tangle lOr, angle bien déterminé et défini comme nous Tavons dit dans la géométrie plane, est Tangle des deux directions positives des droites considérées.
Fig. 4.
La semi-droite 01 fait avec les semi-droites OX, OY, OZ, des angles que nous désignerons respectivement par a, S, y. Nous poserons aussi quelquefois, pour abréger récriture,
cosaizA., cosôzzB, cosy^C
et dans le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, nous dirons que A, B, G, sont les cosinus directeurs de la direction 01.
141. Théorème. La somme des carrés des cosinus directeurs est toujours égale à Vunité.
Prenons sur 01 un point M et faisons la construction qu'indique la figure 4 ; nous avons
(i) ODzzOMcosa, OE-OMcos6, OFriOMcosy;
et, par suite,
ÔD -f- ÔE -+- Ôf' = ÔM' (cos' a H- cos' 6 H- cos' y)- Mais nous savons que
(M zzÔD -hOE -hÔi^' , nous avons donc
cos* a -h cos' 6 4- cos* Y — * •
15. An^le de deuiL directions, {Formule.) Désignons par V Tangle lOr et projetons le contour brisé ODGM et la résultante OM sur 01', nous avons,
(M cos V =: CD eus cf! + OE cos t' -+- OF cos y', ou, en tenant comple des formules (i), cos V — cos a cos a' + cos 6 cos 6' + cos y cos y' ~ AA' + BB' + CC.
16. Perpendicuiarité de deux directions. La formulé que nous venons de trouver prouve que si les droites A, A', ont des directions rectangulaires, on a
cos a cos a' -+- cos 6 cos 6' -f- cos y cos y' — ^,
ou, dans la notation abrégée,
AA'^-BB'-hCG'izo.
Les paramètres A, B, G; A', B',G'; vérifient ausôi les égalités
EXERCICES
1 . Démontrer que^ en axes obliques^ les cosinus des angles a, 6, y définis plus haut (§ i3) vérifient la relation
cos a cos 6 cos Y
cosa
cos 6
cos Y
On projette le contour brisé formé par les coordonnées d'un point M et la résultante OM, sur cette droite et sur les axes de coordonnées.
On obtient ainsi quatre équations linéaires et homogènes entre jp, y, z coordonnées de M et la longueur / de OM.
1t, Les axes étant obliques, démontrer que l'angle V de deux directions est donné par la formule :
COS a! cos 6' cos y'
cos a cos 6
cos Y o
-f Ao cos V — o.
3. Démontrer, en axes rectangulaires, les formules suivantes:
sin* V = (BC — CB')' + (GA' — AC')' -f- (AB' — BA')', 4 cos' - = (A -I- A')' H- (B + ti'Y + (G + C'/,
4 sin' ^ = (A - A')' + (B - B')' + (G - C')'.
IV. Le but de la transformation des coordonnées dans Tespace est le même que celui que nous avons indiqué dans la géométrie plane. Cette transformation est complexe; elle comprend : i^ un transport des axes, parallèlement à euxmêmes; 2^ une rotation des axes transportés, autour de l'origine nouvelle.
En appelant [x, y, z) les coordonnées d'un point M, par rapport au système (0, xyz) ; et (X, Y, Z) les coordonnées de ce même point par rapport aux axes i.ouveaux (0',XYZ); ceux-ci étant parallèles aux anciens» on a
(T) xizX-^a, y = Y-f.6, ^ziZ-+-y;
a, 6, Y, désignant les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux anciens axes.
Ces formules sont générales ; elles conviennent à toutes les situations respectives des deux systèmes et à toutes les positions du point M.
18. Rotations ûem axes autour de Torisine. Considérons maintenant deux systèmes de même origine ; désignons par A , B , C, les cosinus des angles que fait la semi-droite OX avec les semi-droites ox,oy,oz; et ainsi des autres. Soit M un point quelconque ; construisons les coordonnées de ce point dans les deux systèmes et projetons
successivement les deux contours brisés OQPM, OSRM sur les axes ox^oy^oz. Nous obtenons ainsi les relations
a: 4- y cos V -h 2 cos [A 1= AX -h A'Y + A' Z,
(T') a;cosv4-y4-2COsX:r:BX-l-B'Y-+-B''Z,
a; cos [JL -h y cos X + iî = ex + C'Y -f CZ.
Le déterminant des inconnues x,y,z, est justement la fonction Ao que nous avons rencontrée déjà et qui, comme nous l'avons reconnu (§ 12), est toujours positive. Nous pouvons donc résoudre les équations précédentes par rapport à Xyp, z; et, par suite, effectuer la transformation.
