AA'A
OC
Fig. 5.
1L9. IntroducÉion des paramétres directeurs. Si Ton
considère une droite quelconque passant par Forigine et, sur cette droite, un point M situé à Tunité de distance ; les coordonnées de ce point s'appellent les paramètres directeurs de la semi-droite OM.
Prenons sur OX un point H (OHzr 1) et soient a, 6, c ses coordonnées ; le contour brisé formé par a,b,Cy et la résul-
De L. Tome HI. 2
tante OH étant projetée, successivement, sur les directions oxyoy^oz, nous avons
A ir: rf -f- 6 cos V + c cos (x, B — a cos V -h 6 -+- c cos X, C z=. a cos |i. -h 6 cos X-\-c.
En appliquant ce même principe aux points directeurs K, L, des directions OY, OZ, on obtient six relations analogues pour déterminer A', B', G' ; A.% B", C^
Les formules (T') deviennent alors :
J? 4- y cos V H- 2 cos [J. — aX + a' Y H- a"Z
-|-(6X-l-6'Y + 6''Z)cosv
+ (cX + C'Y + c"Z) cos [X,
xcos^-hy + z cos A — (aX + a' Y -h a"Z) cos v
(bX-^b'Y-hb'Z)
(cX -f- C'Y -h c''Z) cos X,
a: cosfx-f-y cos X -4-2 =: (aX 4- a'Y + a"Z) cos [/.
+ (6X + 6'Y + 6"Z) cos X + (cX -+- C'Y + c"Z).
Ces équations sont du premier degré en x,y,z; elles admettent une solution unique, et la forme même qu'elles affectent met en évidence cette solution qui correspond aux formules (*) :
x = a}i + a'Y + a"Z, (T'O y = bX-hb'Y + b"Zy = cX + c'Y + c'Z.
/SO. Relation entre les paramètres directeurs. Les
quantités a,b,c, ne sont pas indépendantes et en écrivant que la distance OH est égale à l'unité, on a (§ 10),
a'-\- b^~h c' -+- 'ibc cos X + aca cos [l + 2ab cos v zz 1 *
i.Nous avous cuipruuté ce calcul à une note de M. Ch. Brissë {Nouvelles annales de mathématiqtles, 1882é — Troisième séries tome I, p* 207)»
^1. Cas des axes rectangulaires. Dans le cas où ron passe d*uu système rectangulaire à un second système^ également rectangulaire, les formules (T), ou les formules (T"), donnent :
( a;=AX + A'YH-A"Z, (R) j y=BX+B'Y4-B''Z,
f z r= ex + C'Y + C"Z.
A ces relations, il faut ajouter les suivantes, qui expriment que les deux systèmes considérés sont rectangulaires,
i A* + B* + C - 1, I AA' + BB' 4- CC = o,
(a) ) A"-f-B" + C''=i, (P) j A'A''-4-B'B''+CC"z=o, / A"*+ B''*4- C'zz 1 ; ( A"A + B "B -h C'C =: o.
Les formules (a) expriment : la première, que la droite OX fait avec OxyOy, Oz, droites qui sont deux à deux rectangulaires, des angles dont les cosinus sont A, B et C ; et, de de même, pour les deux autres.
Les formules (6) expriment que les directions OX, OY, OZ sont deux à deux rectangulaires, dans un système d*axes (0. xyz) qui est lui-même rectangulaire.
En remarquant, comme l'indique la figure précédente, que les cosinus des angles que font avec les droites (OX, OY, OZ) les directions (Oax,Oy , O2), sont respectivement A , A', A" ; B, B', B" ; C, G', C^' ; et en appliquant de nouveau les égalités (a) et (6) on a les relations :
iA* + A'*-f- A"* = 1 , { AB -f- A'B' + A"B" :=
G* + G'*-|-G''*zii, ( GA + CA' -h G^'A" == o
Les formules (a'}, (6') sont dépendantes des formules (a) et (ô) (*) ; le nombre des paramètres de la transformation est
