FF' = SO-SA = 0'A

En menant par H une droite HK parallèle à SO', cette droite passe par le milieu de OA et, par suite, par le milieu de EF. Ainsi on peut écrire

lF=IF'r:^-^=:IH

Le lieu décrit par le pomt F, ou par le point F', est donc une slropholde oblique déterminée par le point et la droite KH.

S. Quand un cône est circonscrit à une surface du second degré Q, ses

trois axes vont rencontrer chacun des plans principaux de Q -en des points

A, B, C, tels que BC est la polaire de A par rapport à la conique focale

située dans le plan principal considéré,

(Chasles.)

S. Le produit des distances de chaque point d'une conique focale d*une

surface du second degré, à deux plans tangents à la surface, parallèles

entre eux et parallèles à la tangente à la conique au point pris sur elle,

est constant, quel que soit ce point.

(Chasles.)

4. Les axes d'un cône circonscrit à une quadrique sont les normales aux trois surfaces homofocales qui passent par le sommet du cône considéré.

LES HTPERBOLOÏDES. (Cône asymptote

et sections planes.)

Lorsque les trois racines de l'équation en S sont différentes de zéro, si elles n'ont pas le même signe, Téquation réduite de la surface prend Tune ou l'autre des formes suivantes :

Nous avons déjà distingué les figures différentes affectées par les surfaces qui correspondent à ces équations et nous avons nommé hyperholoïde à une nappe^ la première; hyperholoïde à deux nappes, la seconde.

En faisant varier 2 de + oo à — «>, dans les. équations (Hj) et (Hj), on aperçoit les résultats suivants :

1® Dans H,, les sections parallèles à YOX sont des ellipses, toujours réelles, dont les axes croissent au delà de toute limite. La surface est constituée par une nappe indéfinie qui s'élargit de plus en plus quand on s'éloigne du plan YOX ; cette nappe repose sur ce plan par une ellipse correspondant à l'équation

Celte section porte le nom d'ellipse de gorge.

Comme nous l'avons déjà observé (§ i46), et nous reviendrons sur ce point dans la leçon suivante, cette surface admet des génératrices rectilignes ; pour ce motif, on la désigne quelquefois par Texpression Hyperboloïde réglé.

2** Dans H„ les sections sont imaginaires pour les plans qui correspondent à l'équation ;2f zz A, si Ton a h* <, o*\ lorsque A* est supérieur à c*, les ellipses de section sont réelles et leurs axes, partant de la valeur zéro, croissent au delà de toute limite en même temps que h.

En résumé, les deux surfaces ont la forme, déjà signalée, et que rappellent les figures ci-dessous.

Fig. 33. Fig. 34.

Sans nous arrêter à étudier les propriétés de ces surfaces, qui offrent une analogie trop intime avec celles que nous avons signalées pour Tellipsoïde, nous indiquerons seulement celles qui sont relatives au cône asymptote et aux génératrices rectilignes.

995. Cène asymptote. L'équation du cône asymptote aux surfaces H, et H„ est d'après un résultat précédemment établi (§1 4 8),

LES HYPERBOLOIDES SIS

Lea deux hyperboloïdes que nous venons de conaîdéreret qui correspondent (en prenant, successivement, le signe +, et le signé — ) à l'équation

Aa7' + Ay-*-AV=+ I (AA'A''<«)

sonl appelés hpperboloïdes conjugués. Ils occupent, relativement au cône asymptote commun, la position respective indiquée par la figure (35), et les sections faites par un même plan dans ces deux hyperboloïdes conjugués sont des courbes bomothétiques- Celte proppiété, facile àvérifiep directement, peut être considérée comme -résultant de ce fait, démontré précédemment (§ a4), et en vertu duquel les sections faites dans un byperboloïde et dans son cône asymptote, sont homothétiques et concentriques.

Fig. 35.

Cette propriété e^t, comme on le voit, l'analogue de celle que nous avons signalée dans la géométrie plane, propriété relative aux hyperboles conjugués et à leurs asymptotes communes {% 35a ; ex. 4, p. 474)-

See. tSectIons planes. Une autre conséquence qui mérite d'être signalée est relative aux sections planes des hyperboloïdes qui peuvent être, suivant la direction donnée au plan sécant, des ellipses, des hyperboles et des paraboles ; ou encore, bien entendu, des variétés de ces courbes.

En effet, l'équation du cône asymptote étant

les plans parallèles à YOX donnent des sections elliptiques ; les plans parallèles aux deux autres plans de coordonnées donnent des sections hyperboliques.

11 y a donc sur les hyperboloïdes des sections elliptiques et hyperboliques.

Enfin, si Ton considère les plans tangents au cône, plans qui coupent cette surface suivant deux droites coïncidentes, les plans parallèles donneront, dans les hyperboloïdes, des sections du même genre, c'est-à-dire des paraboles.