Équation générale des sections paraboliques

Cette équation résulte immédiatement de la remarque que nous venons de fair,e ; elle découle aussi très simplement, comme nous allons le montrer, de ce fait que la projection d'une parabole est encore une parabole, Soit

l'équation d'un plan quelconque. La projection de la courbe, intersection de ce plan avec Fun pu l'autre des hyperboloïdes, a pour équation

Cette égalité représente une parabole, si l'on a

ou

En posant

LES HYPERBOLOIDES 317

et en considérant t et 6 comme des paramètres arbitraires, réqualion demandée est

^t9iH, Remarque. On peut déduire de celte équation, et l'on vérifie d'ailleurs sans difficulté, que les plans tangents au cône asymptote sont représentés par l'équation générale :

En écrivant cette équation sous la forme :

\a cj h c a

on vérifie, que l'enveloppe des plans (i) est représentée par l'équation

(iy=(-:+:-)e-â'

ou

Cette surface enveloppe est donc le côûe asymptote luimême.

990. Représentation d'un point de Hj et de Hg. L'identité évidente

identité dont nous expliquons, un peu plus loin (§ 3i8), l'origine, prouve que les coordonnées d'un point M' de Hj, peuvent se représenter par les formules :

318 VINGT-GINQUIÈME LEÇON

D'après celte remarque, Téquation générale des plans tangents à H„ sous une forme rationnelle, et avec deux paramètres variables, correspond à l'égalité

(T,) ^(i+^e)+|u-e)-^(<-he) = i-^ô.

En se reportant à l'identité :

qui a été employée plus haut (§ 263), et en l'écrivant sous la forme :

on voit que les coordonnées x", y\ z\ d'un point quelconque de Hg, peuvent être représentées par les formules

L'équation générale des plans tangents à H, est, d'après cette remarque,