Section de H^ par an plan tanguent. Par un

point de H,, passent, comme nous, le montrerons dans la leçon suivante, deux génératrices réelles ; lesquelles, pour un motif connu (§90), constituent le plan langent au point considéré. Mais nous nous proposons de vérifier cette proposition par un calcul direct. ' L'équation (T^) du paragraphe précédent peut s'écrire

L'inlerseclion que nous voulons étudier est déterminée

LES HYPERBOLOIOESj 319

par le plan qui correspond à celte équation et par la surfaca IJi, dont réquation peut s'écrire

Élevons les deux membres de l'égalité (i) au carré et observons que les termes

disparaissent. Nous obtenons, après cette rédaction, la relation suivante:

En retranchant aux deux membres, et respectivement, les expressions (3), il vient :

Ki-)-'«(i-)r=i'(M)-«M)f-

Cette équation se décompose en deux et, précisément, ce fait analytique met en évidence la propriété géométrique de l'intersection que nous étudions ; il montre qu'elle se compose de deux droites G, G'. Les relations (i) et (4) donnent d'ailleurs les équations de ces droites, sous la forme :

(G) i^ ^^ ^' (GO r \^ ^

301. Plans sécants donnant des hyperboles équilatéres. Parmi les sections planes remarquables des surfaces Hi et Ha, nous signalerons celles qui sont formées par des hyperboles ëquilatères. Pour les déterminer nous observerons d'abord que si Ton imagine une de ces sections, en lui

menant par le centre un plan parallèle, celui-ci coupera le cône asymptote suivant deux génératrices rectangulaires. Soit

réquation d'un plan P; celle du cône asymptote étant

Les droites communes à ces deux surfaces seront rectangulaires si nous avons (§ 243)

ou, après réduction,

Telle est la condition que doivent remplir les paramètres a, 6, Y, de Téquation

pour que le plan correspondant coupe la surface H^ ou H„ suivant une hyperbole équilatère.

309. Théorème. Le lieu des points d'oii partent deux génératrices rectangulaires de la surface H,, est une courbe gauche située sur la sphère deMonge.

Nous avons vu que tout plan tangent à Hj coupait cette surface suivant deux génératrices ; cherchons à distinguer sur H^ les points qui donnent deux génératrices rectangulaires.

Soit M l'un des ces points, et soit

abc le plan tangent correspondant P. La section étant formée de

LES HYPERBOLOIDES 321

deux génératrices rectangulaires tous les plans parallèles à P coupent Hj suivant des hyperboles homothéliques, c'est-àdire, dans le cas présent, suivant des hyperboles équilatères.

Nous avons donc

Le point M est situé à l'intersection de la surface avec le diamètre conjugué- de P, droite représentée par les équations

^ y ^ abc

Ainsi, les coordonnées du point M vérifient les deux égalités :

(0 '^,{b'-c^) + ^,ia'-c')-pa'+b^)=o,

^ a b c La première peut s'écrire

^!(a- + 6--c')+|'(a' + 6*-c')-^;(a' + 6'-0 — X* — y* — s' m" ou, en tenant compte de (a),

x' + f + z' = a' + b*-c\ Le théorème énoncé se trouve ainsi établi.

303. Remarque. On pouvait prévoir à priori que les points cherchés appartenaient à ^y ;

la sphère de Monge. i/^ j

En effet, soit M un point du /

lieu ; et soient MG, MG', les gêné- jyr Fig. 36.

ratrices qui passent par ce poinir et que nous supposons rectangulaires ; traçons encore la nor-

De L. Tome III. ^ *

VINGT-aNQUlÈME LEÇON

maie MN et considérons le trièdre M, N6G^ Tout plan passant par une droite située sur une quadrique, coupe cette surface

suivant deux droites et, par conséquent est un plan tangent. Le trièdre M, NGG' est donc constitué par trois plans tangents à H, ; et comme il est trirectangle, le point M est situé sur la sphère de Monge.

On peut encore raisonner de la manière suivante :

Imaginons le plan diamétral conjugué de OM : il coupe H^ suivant ime hyperbole équilatère, puisque les sections parallèles sont homothétiques. Soient OQ et OR les axes de cette section; ces droites sont égales et le théorème I d'Apollonius donne

Fig. 37

OM -hOQ —OR zz: a' + 6* — c\

OM: = a*+b' — c*;

le lieu du point M appartient donc à la sphère de Monge. Mais il faut observer que ni Tune ni l'autre de ces deux démonstrations géométriques n'ont la rigueur désirable; parce qu'elles n'établissent pas que, réciproquementy tout point pris sur H„ et sur la sphère de Monge qui lui correspond, jouit de la propriété énoncée.