A UNE NAPPE

30^. Équations g^énérales des fi^énératrices rectilifi^nes de H^. L'équalion de H^ peut s'écrire sous Tune ou l'autre des formes :

Les deux plans correspondant aux équations.

représentent une droite G dont tous les points sont situés sur Hj. En effet, toute solution (a?', y\ ;3')des équations (G), doit vérifier la combinaison obtenue en multipliant ces égalités, membre à membre, combinaison qui donne

a' '~c' b'' ou,

On voit, de même, que les équations :

(G') i \c bl

représentent une droite placée, elle aussi, tout entière, sur H^.

30S. ReprésenÉation tric^onométrique des g^énératriec». Si nous résolvons lès équations (G) par rapport à

- et ? , nous avons :

X it z 1 — /'

et si nous posons, comme nous l'avons déjà fait en géouiélrie plane (§ 283),

les formules (G) prennent la forme suivante :

- = - sin o -f cos 5 , (F) { « ^

f r = — COS ? + sin®.

Le même calcul appliqué aux formules (G') donne :

- = - sin 6 + cos^,

*-=::- cos <}^ — sm6.

oc ^

Aux équations (G), ou (F), correspondent des droites, en nombre infini; elles forment un premier système de génératrices; les égalités (GO, ou (F') représentent un second svs-

GÉNÉRATRICES DE L'HYPERBOLOIDE 325

tème de génératrices. Nous allons étudier les propriétés principales des droites qui constituent ces deux systèmes.

30e. Théorème I. Par un point W de VhyperholoUe à nne nappe passe une droite de chacun des systèmes.

Soient {x', y', z') les coordonnées de M' ; considérons les deux rapports^ égaux :

et désignons par /' leur valeur commune. Si, dans les formules (G) nous donnons au paramètre variable t, cetle valeur t\ la droite représentée par les équations :

a \c bj' \a^ 1 c^ b'

passe, visiblement, par M'; de plus, comme toutes les droites (G'j, elle se trouve située tout entière sur Thyperboloïde.

Le même raisonnement est applicable aux droites (G'), en considérant les deux rapports égaux :

et en prenant pour 6, le nombre 6' qui représente la valeur commune de ces deux rapports.

Cette propriété des droites G et G', légitime, pour chacune d'elles, le mot de génératrices par lequel elles sont désignées.

309. Théorème II. Il n'y a pas sur la quadrique H, d'autres droites que celles qui appartiennent à l'un ou à Vautre des systèmes (G), (G').

En effet soit A une droite quelconque située sur Hj ; prenons sur A un point M'. Nous venons de montrer que par ce

326 VINGT-SIXIËME LEÇON

point H' passaient une droite G et une droite 6'. D'ailleurs, ces droites 6 et 6' sont toujours distinctes et c'est ce que montrent très nettement les équations (F) et (F'). Ainsi, par le point M', passeraient, sur H|, trois droites distinctes. L'impossibilité de ce fait géométrique résulte de ce que les trois droites en question seraient situées, toutes les trois, dans le plan tangent à H4, en M'; les droites de ce plan rencontreraient la quadrique en trois points, ce qui ne peut pas être.

BOH. Théorème III. Deux génératrices appartenant à des systèmes différents sont toujours situées dans un même plan.

Pour vérifier que les équations (F) et (F') sont compatibles, il suffit de reconnaître que les équations :

(1) - (sin 9 — sin ^) = cos ^ — côs ç,

(a) - (cos <p + cos ^) = sin ç -f- sin ^j

donnent pour z la même valeur; or, ceci résulte de l'identité évidente

sin* ç — sin* 6 s: cos' 6 — cos* ?.

On vérifiera d'ailleurs, sans difficulté, que les deux génératrices (F), (F'), sont situées dans le plan

(A -cos-^ — ^4--sin.^ I--sin?~^ = cos?^^î-2-.

O' 1 b 1 c 'jt 2

300. Théorème IV. Deux génératrices du même système ne sont jamais situées dans un plan commun.

Il faut établir l'incompatibilité des équations :

- =- sm f -f- cos 9, - zz - sm ç 4- cos ç

^ = — -C03 9 + sin (p ; - z=z — - cos 9'+ sin 9'.

GÉNÉRATRICES DE L*HYPERBOLOIDE 327

Or, ces égalités donnent

- (sîn 9 — sin 9') =: cos 9' — cos 9,

et,

- (cos (f — cos <p') iz sin 9 — sin 9'.

Ces deux relations, si l'on suppose 9 — f'?i o, conduisent à celle-ci

égalité qui prouve Tincompatibilité du système considéré.

310. Oénératrices parallèles. Parmi les génératrices qui appartiennent à des systèmes différents, et qui sont situées dans un même plan, on peut distinguer celles qui sont

parallèles.

z Pour que les formules (i) et (a) (§ 3o8), donnent pour -

des valeurs infinies, il est nécessaire et suffisant que Ton ait

sin9 — sint^ = o, et cos9 + cost};=io; égalités qui entraînent la suivante :

La relation (A) (§ 3o8), prouve que Téquation générale des plans P qui coupent H^ suivant deux génératrices parallèles, est

fi) - cosa + l sin a — =0.

Dans cette égalité, « qui, d'après Téquation citée, représente ? , est un paramètre arbitraire.

11. On peut d'ailleurs vérifier le résultat précédent. Cherchons l'interjection du plan P avec H, ; les équations :

donnent, par combinaison.

ou

ou, enfin,

X* , ^ . y t 2xy

-r sin 2 + r* cos a r- sin a cos a ~ i ,

a b ah

- sin a — 7cosa=:di i.

L'intersection de P avec le cône asymptote donne, par le même calcul.

( - sm a — 7 cos a ) = o.

Ainsi, tout plan P correspondant à Téquation (i) est tangent au cône asymptote, le long d'une certaine droite OGj (fig. 4o) et coupe l'hyperboloïde suivant deux génératrices de systèmes différents, DG, D'H', qui sont parallèles à OG,.

Comme l'équation (i) représente l'équation générale des plans tangents au cône asymptote, le calcul précédent prouve que, réciproquement, tout plan tangent au cône asymptote coupe Vhyperbolotde suivant deux droites qui sont^ Vune et Vautre, parallèles à la génératrice de contact.

319. Si Ton considère la section faite dans le cône asymptote par un plan passant par OZ, on obtient deux génératrices de ce cône, OG^ et OH,. Ces droites sont également inclinées sur OZ, parce que OZ est un axe de symétrie du cône. Les plans tangents au cône le long des droites 0G„ 0H„ coupent la surface H^ suivant des couples de droites respectivement parallèles à celles-ci.

GÉNÉBATniCES DE LHYPERBOLOIDE 329

On recoQnait ainsi que les sections faites dans H, par deux plans tangents, ayant pour points de contact les extrémités d'un diamètre de l'ellipse dégorge, sont formées par deux couples de génératrices ; ces génératrices sont, deux à deux, parallèles.

Si l'on considère, en particulier, les deux génératrices DG el DH qui passent par le point D de l'ellipse de gorge leur plan a pour trace sur le plan de cette ellipse la tangente ST; déplus elles sont situées dans un même plan avec la normale au plan de l'elUpse, droite passant par leur point de concours ; enfin, cet axe du plan est une des bissectrices de l'angle qu'elles forment.

Rg.38,

Nous reviendrons tout à l'heure sur ces propriétés que nous démontrerons autrement.