On voit aussi, parmi les corollaires de la proposition

que nous venons d'établir, que les génératrices de fun ou de l'autre système, transportées parallèlement à elles-mêmes, au centre de la quadrique, engendrent le cône asymptote. Cette remarque avait déjà été faite, sur l'équalion générale (S .54).

314. Enfin on peut encore observer que (ro»5 génératrices de H, ne sont pas parallèles à un même plan.

En effet, si l'on transporte ces trois droites, parallèlement à elles-mêmes, au centre de la quadrique, on a trois génératrices du cûne asymptote ; lesquelles ne peuvent pas être situées dans un même plan.

81 S. Thorème W, Si Von considère un plan central P et une génératrice G, la projection de G sur le plan? y projection faite parallèlement au diamètre conjugué de P, est une droite tangente à la section centrale considérée.

Soit A le point commun à P et a G. Choisissons, sur 6, un point M et menons, par N, une parallèle MM' à la droite AC, droite dont la direction est corguguée de P. dette parallèle MM' rencontre P au point B ; prenons M'B = BM ; aux points tels que M, de la droite G, correspondent des points tels que M', situés sur une droite G', passant par A; et puisque Pest un plan diamétral conjugué des cordes parallèles à AC, tous ces points M' sont situés sur la quadrique considérée Q.

Fig. 39.

Ainsi, les droites AG et AG' sont deux droites de Q et le plan AGG', formé par ces génératrices, est le plan tangent à Q, au point A. Ce plan coupe P suivant une droite AB, droite qui, par conséquent, représente la tangente à la section faite par le plan P, dans la surface Q.

31 G. Théorème Vf. Par un point D, pris sur r ellipse de gorge passent deux génératrices DG, DH :

1** Ces droites^ et la tangente en h à V ellipse de gorge, sont situées dans un même plan, avec la normale en D au plan de Vellipse,

a** Cette normale et cette tangente sont les bissectrices des angles formés par les detuc génératrices considérées.

Soit M un point quelconque de DG; projetons ce point en m sur le plan de Tellipse et prolongeons Mw, jusqu'en M',

GÉNÉEIATRICEB DE L'HYPERBOLOIDE 331

d'une longueur égale à elle-même. La droite Dm représente la projection de DG sur le plan de l'ellipse, Dm est donc la tangente en D à l'ellipse de gorge (§ 3i5).

Fig.40.

D'autre part la droite DM' étant, par rapport au plan de l'ellipae, la symétrique de DM, se trouve tout entière située sur l'hyperboloïde ; DM' représente donc la seconde génératrice passant par D.

Cela posé ; l'égalité des angles MDn*, M'D«i prouve que Dm est bissectrice de l'angle MDM'. En menant par D une parallèle à MM' on obtient une normale au plan de l'ellipse qui est située dans le plan MDM' et qui est la bissectrice de l'angle GDH. La proposition se trouve donc démontrée,

319. Théortme VII. Le cône asymptote est le lieu des asymptotes des sections centrales de Vhyperboloîde.

Démonstration géométrique. Soit OAC le plan d'une section centrale et soit OB le diamètre conjugué. Considérons aussi l'ellipse qui a pour diamètres conjugués OA et OB. Le plan AOC coupe la surface suivant une hyperbole, soit M un point de cette courbe. Menons la tangente MD, à cette hyperbole et, par le point D,, une parallèle DD' à BB'. Il résulte d'un théorème précédent (§ 3i5) que le plan MD.DD' coupe la surface suivant deux génératrices passant parM; or,les points M, D, D', sont trois points de cette intersection ; celle-ci est donc constituée par les droites MD et MD'.

332 VINGT-SIXIÈHE LEÇON

Supposons maintenanl que le point M considéré s'éloigne à l'inSni; MD, a, comme l'on sait, pour position limite, l'asymptote OH,. D'autre part, DD' à la limite, se confond avec BB', puisque D, vient se placer au point 0. Les droites MD

FIg. 4"-

et MD' deviennent donc deux génératrices BH, B'H', parallèles à OH,. D'après cela, on peut conclure que OH, étant une génératrice de la surface, transportée parallèlement à elle-même au centre de celle-ci, est une génératrice du cône asymptote.

318. Démonstration analytique. Ces considérations géomélriques établissent la proposition énoncée, proposition qu'on peut aussi démontrer très simplement par l'analyse.

Prenons, ce qui n'est pas beaucoup plus compliqué, la notation générale ; et considérons l'hyperboloïde qui correspond à l'équation

(i) î (ax-|- fey -f cz)' -i- s' (a'x + b'y ■{■ c'z)' + t'(a°x + b'y-\-c'z}'-i .

Par l'origine menons un plan sécant quelconque, représenté par l'équation

GÉNÉRATRICES DE L'HYPERBOLOIDE 33i

Les paramèlres «,6, y, ne sont pas nuls à la fois; nous supposerons yçifo. Les équations (i) et (a) représentent une courbe du second ordre U, dont la projection sur le plan XOY a pour équation

(3) £ j ax+by—'{oix-h^y) \ +^'\ a'a;-h6V— - (ar+ By) |*

i" j a'x -^ b"y - ^' (aa?+ 6^/) j = i .

Les asymptotes de U ont donc, sur le plan XOY, des projections représentées par l'équation

(4) t\ax-^by—^-{oiX-k'ty)\ -hs'ja'oî + ô'y— fU^^-ô^/) |

Pour avoir le lieu décrit par les asymptotes de U il suffit d'éliminer les paramètres variables a, 6, y, entre (2) et (4). Cette élimination est possible et donne

^{ax-\'by-^czY'^z'{a'X'hb'y'\'c'zy+t''{a"x^b''y-^c"zy=^

La surface qui correspond à cette équation est bien le cône asymptote de Thyperboloïde proposé.

On a remarqué que la base de celte démonstration est le principe évident suivant : rasymptote d'une courbe se projette sur un plan, suivant une droite asymptote à la projection de cette courbe, sur ce plan.

319. ReprésenÉatfon plane des qaadriques A cenCre. Nous terminerons cette leçon en montrant comment on est conduit à certaines identités, qui nous ont servi précédemment à représenter les coordonnées d'un point mobile sur une quadrique, au moyen de deux paramètres variables /, 0.

Les formules (G) et (G') admettent, comme nous l'avons observé, une solution; et, en cherchant celle-ci, on trouve

que les coordonnées d'un point de H, sont exprimées par les formules, déjà signalées, mais qui se présentent ici plus naturellement,

C'est de ces formules, et de la relation

qu'on déduit, par voie naturelle, l'identité précédemment visée,

Posons maintenant :

et nous avons

(i -+- u* - uj -h 4w* — 4o* =: (i — t)' -h w*)

Si, dans cette identité, nous changeons v* en — w* (ou t), en lu), l'identité subsiste et s'écrit^ sous une forme nouvelle, .

C'est cette identité que nous avons considérée plus haut (§ 263 et 299), et qui nous a permis de représenter les coordonnées d*un point de l'ellipsoïde, et celles d'un point de rhyperboloïde à deux nappes, par les formules que nous rappelons ici : •

a? 1 — <* ^ e* y t z ^i^fJ^^* â"~ 26 ' 6~ô' c" 2e *

GÉNÉRATRICES DE L'HYPERBOLOIDE 335

Ces formules diverses : (H^), (E), (Hj); permettent de représenter les quadriques à centre, point par point, sur un plan P.

Imaginons en effets dans le plan P, deux axes fixes, rectangulaires, 0)^,0)6. A tout point m', pris sur P, correspondent des coordonnées ^',6' ; en transportant ces valeurs dans les formules (E), par exemple, on obtiendra des valeurs correspondantes x\y\z'y qui représentent les coordonnées d'un point M' situé sur TeUipsoïde. Ainsi, à tout point du plan P correspond un point dé P ellipsoïde.

Si l'on cherche à résoudre les formules (E) par rapport à ^ et à 6, on voit que la première fait connaître «* -h 8" ; les deux autres donnent alors t et 0. Ainsi, réciproquement, à un point de V ellipsoïde correspond un point unique et bien déterminé du plan P.

Cette remarque fondamentale s'applique aux formules (HJ et (H,); et l'on conçoit ainsi comment on peut représenter les quadriques à centre, point par point, sur un plan.

Lorsque le point considéré M est mobile, tout à la fois^ sur Tellipsoïde et sur un plan H, représenté par l'équation

le point correspondant m du plan P a des coordonnées i, 0, qui vérifient constamment l'égalité

a ( 1 ^ ^* — 6*) -h ag^ -f 2yO + S ( 1 H- ^' + 6*) — .

Cette équation représente un cercle ; ainsi à une ellipse tracée sur V ellipsoïde correspond un cercle dans le plan transformé P.

On remarque que si Ton suppose a = S, l'équation précédente représente une droite. Dans ce cas l'ellipse correspondante, tracée sur l'ellipsoïde, passe par le sommet A' (— a, o, o), ,

La réciproque est vraie ; toutes les droites du plan P proviennent des ellipses qui passent pa " te sommet A'.

Ces remarques donnent lieu à des conséquences nombreuses mais nous ne pouvons pas insister autrement sur ce sujet, qui touche pourtant, par un point élémentaire et intéressant, à la théorie générale des surfaces omaloïdes ou surfaces unicursales . [V. Sylvester. Nel Cambridge and Dublin Math. Journal^ t. VI, p. 12. — Oemona. Sulle trasformazioni razianoli nello spazio. Bendiconti del Reale Institulo Lombardo. Série lï, vol. IV, fas. X (mai 1871). — Picart. Thèse de mathématiques, 1878. — Voyez aussi Le Journal de Mathématiques spéciales ; sept. i884.]

EXERCICES

f . Démontrer que le produit des sinus des angles que fait une génératrice d'un hyperboloïde, avec les plans cycliques réels, est constant.

8. On considère trois génératrices G, G', G" de V hyperboloïde ; par G' on peut mener un plan P parallèle à G", et, par G^ un plan Q parallèle à G'. Soit M un point pris sur V hyperboloïde ; si par M on mène une parallèle à G, cette parallèle rencontre P en Cet Q en y ; on obtient ainsi un rapport MO vT J puis deux autres analogues. Démontrer que Von a

MA MB MC Ma * Mo * My ~ * '

En prenant (au lieu des axes indiqués par fiinet, § 332) trois axes de coordonnées menés par un point de l'espace, parallèlement aux génératrices G, G', G^ on trouve que la surface est représentée par une équation de la forme :

les équations des génératrices étant, dans le système d'axes indiqué,

a?=:a, œ=2a', y=^b; yz^b'; zz=zc\ zz=.c' .

La relation (1) établit la proposition énoncée.

3. Trouver, au moyen des formules V (§ 3o5), le lieu des points de Vhyper» boloïde, d*oîi partent deux génératrices rectangulaires.

EXERCICES 337

4. Oh considère un ellipsoïde et sur Vave OX un point fixe R (OR = a) ; par ce point R on fait passer deux plans tangents II, 11' dmt les traces 1, \' sur YOZ, sont rectangulaires. Trouver le lieu décrit par le point I, point commnn aux droites A, A'.

En adoptant les notations indiquées plus haut (§ 319] on trouve que les plans n et II' sont représentés, respectivement, par les équations

f?(i-.^«0*)-»-2^T+2e2zz:i-f<*-4-e' a^ oc

En faisant passer les termes eu— dans les seconds membres, et en ajoutant les égalités ainsi écrites, après les avoir élevées au carré, ou trouve

Cette équation représ»inte le lieu décrit par la droite RI. Le lieu demandé^ celui du point I lui-même, est une ellipse, homothétique à l'ellipse principale du plan YOZ.

De L. Tome 111. ^'^