LES PARABOLOÏDES
Smi. Forme des paraboloides. Les surfaces de la seconde classe, qui vont nous occuper mainienauQt, peuvent, comme nous l'avons montré, être représentées, en axes rectangulaires, par l'équation réduite :
Dans cette égalité, p ei q sont des paramètres posilifs; le signe + correspond à la surface que nous avons nommée parabololde elliptique f si l'on prend le signe — , l'équation représente le parabololde hyperboliqui^ qu'on nomme aussi parabololde régulé.
Si nous considérons d'abord la surface qui a pour équation
- + -=ix, (p>o, q>o),
cette quadrique est située tout entière à la droite du plan YOZ. Les plans parallèles à YOZ donnent, dans la surface, des sections elliptiques, dont les axes grandissent au delà de toute limite, quand le plan sécant s'éloigne à l'infini dans la direction OX. Les autres sections principales sont des paraboles; et l'on peut ainsi se faire une idée générale de la forme de la surface, forme que nous avons déjà signalée, et que représente la figure ci-après.
(.ES PARABOLOIDES
Prenons maintenant l'équation :
les sections principales sont formées par deux paraboles, et la troisième, par deux droites OA et OB situées dans le plan
Fig.4a.
YOZ. La surface s'étend indéfiniment; de telle sorte que les plans parallèles aux plans YOX et ZOX donnent, constamment, des sections paraboliques ; tandis que les sections faites
Kg. 43.
par les plans parallèles à ZOY donnent des hyperboles. La figure ci-dessus rappelle la forme de cette quadrique. . . ;
3i0 VINGT-SEPTIÈME LEÇON
SitO bis. 'Whéoréme. Les sections planes du paraholoïd elliptique sont des ellipses^ ou des paraboles.
Le plan considéré P peut, en eflfet, suivant les cas, être, ou non, parallèle à Taxe OX, que nous appellerons Taxe du paraboloïde.
Si P est parallèle à OX, son équation est de la forme :
la section obtenue se projette sur le plan ZOX, ou sur le plan YOX, suivant une parabole ; ce qui établit que la section, dans rëspace, est aussi une parabole.
Si, au contraire, P n*est pas parallèle à l'axe OX; alors son équation peut s'écrire :
xzzmy + nz-^h,
et la section considérée se projette sur le plan YOZ suivant une courbe ayant pour équation
— H — =12 (my -h H-g- + A) .
Cette égalité représente une ellipse ; les sections de la quadrique, par les plans non parallèles à son axe, sont donc aussi des ellipses.
En résumé, les sections planes du paraboloïde elliptique sont:
Des paraboles y si le plan sécant est parallèle à l'axe;
Des ellipses y si le plan sécant rencontre l'axo.
891 . Théorème. Les sections planes d'un paraboloïde hyperbolique sont: des paraboles^ des hyperboles^ ou des droites.
On voit d'abord, comme dans la paragraphe précédent, que toutes les sections faites dans la surface par des plans parallèles à l'axe sont des paraboles, et que celles qui sont obtenues par des plans rencontrant l'axe, sont des hyperboles.
Mais un fait particulier, que Ton doit signaler, résulte immédiatement de la forme de Téquation du paraboloïde hyperbo*
LES PARABOLOIDES 341
lique ; et Ton peut observer que les plans qui correspondent à l'une ou à Tautre des équations :
sTp s/q \Ip /<!
coupent, quels que soient X et [a, la surface considérée saivant une droite.
Nous appellerons plans directeurs du paraboloïde hyperbolique ceux qui correspondent aux équatix)ns
— . —H — -zz o .
OU des plans parallèles à ceux-ci. Tous ces plans coupent le paraboloïde suivant une seule droite, à distance finie.
Ainsi, les sections planes du paraboloïde hyperbolique sont :
Des paraboles, lorsque la section est faite par des plans parallèles à Taxe ;
Des hyperboles, si le plan considéré coupe Taxe ;
Des droites, si la section est faite par certains plans particuliers ; par exemple : par les plans parallèles à Vun des plans directeurs, ou, plus généralement, par les plans tangents à la surface, comme nous allons le montrer.
