Section du paraboloide par le plantang^nÉ

Si Ton considère les deux équations simultanées :

(i) Ay-4-AV — 2ip = o,

(2) ^k'yy' -h ^k"zz' — 2ir — A'y" — kl'z' = <» ,

on en déduit

(3) K!{y-yy + K!'{z--zy = o.

Si A'A"est positif, cette équation admet une solution unique yz=.y\z = 2' ;et Féquation (1) donne pour x une seule valeur

Ay' + AV

LES PARABOLOIDES 343

c'est-à-dire j?'. Ainsiy dans les paraboloîdes elliptiques le plan tangent n'a qu'un point commun réel avec la surface.

Au contraire, si Ton a A' A'' < o, réqualion (3) se décompose et se trouve vérifiée par les solutions réelles de Tune ou de l'autre des équations :

En combinant successivement ces équations avec Tégalité (2), on voit que le plan tangent au paraboloîde hyperbolique coupe la surface suivant deux droites.

3941. Plans cycliques du paraboloîde elliptique.

Conformément à la méthode générale qui permet de déterminer les plans cycliques, nous devons exprimer que la forme quadratique :

est réductible à une somme de deux carrés. Abstraction faite de la solution évidente X = 0, nous avons pour X deux autres

valeurs : -, et-.

En supposant p> q, les plans cycliques réels correspondent aux équations : ]

z-^zxy — - — , et z^ — xy •

On voit donc que les plans cycliques du paraboloîde elliptique passent par Vaxe OY, droite qui est perpendiculaire à celle des deux sections principales paraboliques qui a le plus petit paramètre,

ailS&. Plans diamétraux. Les plans diamétraux de la surface (P) sont représentés par Téquation

a, 6, Y> élant les coordonnées du point directeur de la droite qu'on suppose parallèle aux cordes considérées. On observera que le plan qui correspond à Téquation précédente quels que soient a, 6, y, est parallèle à Taxe du paraboloïde. Ainsi : Dans les paraboloïdes^ tous les plans diamétraux sont parallèles à Vaxe de la surface.