Diamètre. Au plan qui a pour équation

Ix + my -{- w-y = ,

correspond un diamètre conjugué A, représenté par les équations

On voit donc que A est parallèle à OX et Ton peut dire que tou>s les diamètres des paraboloïdes sont parallèles à l'axe delà surface.

On remarquera qu'un diamètre quelconque rencontre la surface en un point seulement, à distance finie. Ce fait géométrique caractérise les diamètres, parce que toute droite parallèle à OX (y = X, 2: = ix) peut être considérée comme le diamètre des plans parallèles au plan qui correspond à réquation

X =z A'Xy + A'V^^ .

399. Plan de Aionse. Théorème. Le lieu des sommets des angles trièdrestrirectangles quisont circonscrits à unparaboloîde, est un plan perpendiculaire à Vaxe de la surface.

Soient ajo, y©» ^o, les coordonnées d'un point du lieu; réquation

( 1 ) {k'y' + A V - ^x) {k'y: + A V - 20^0) = { A'yyo + k"zZo — iT — iCo)* ,

représente le cône circonscrit au paraboloïde, cône ayant pour sommet le point considéré. En appliquant à celte équation la relation connue (§ 248}, relation qui exprime que la sur-

LES PÂRA60L0IDES 345

face (i) est capable d'un trièdre trirectangle circonscrit, on a :

A'A'' (AV— 2a?o) (AVo"— ^oco) — A' (A V— 2^0) ■^ A' (AV- 2X0) - A'^A'V^o'- A'V- A''V = o .

On voit disparaître le terme A'*A"Vo'^o* ; et, en mettant en évidence le facteur A'2/0* -I- M'Zo*—ix^, lequel s'introduit nécessairement dans le résultat, pour des raisons déjà données (§ 266), on a, finalement,

(A'2/o* + A"^o* - 2a?o) {2xji!h!' -4- A' -f A") = .

Le lieu cherché est donc constitué par tous les points du plan qui correspond à Téqualion

398. Génératrices rectilig^nes du parabeloide hyperbolique. L*équation de cette surface peut s'écrire sous la forme :

t désignant la valeur commune de ces deux rapports. Si l'on considère la droite g qui correspond aux équations

^H — itx\

\s[p y/ql

toute solution de ces équations vérifie aussi, quel que soit l, Va combinaison obtenue en les multipliant, membre à membre. La droite g est donc située tout entière sur le paraboloïde hyperbolique considéré.

Celte remarque s'applique à la droite g' qui est représentée par les équations :

( Mv^'^v/J"'

S!99. Propriétés des génératrices. Les équations precédentes permettent de vérifier très facilement, et par des calculs tout semblables à ceux que nous avons faits, quand nous avons étudié les génératrices de Thyperboloïde à une nappe, les propriétés suivantes que nous nous bornons à énoncer.

1® Par un point du paraholoïde hyperbolique passe une génératrice de chacun des deux systèmes ; mais il ne passe aucune autre droite située tout entière sur la surface,

2** Deux génératrices du même système ne sont jamais dans un même plan ; mais deu^ génératrices appartenant à des systèmes différents sont toujours situées dans le m^me plan.

3* Par un point M , pris sur l'une des paraboles principales P, passent une droite (g) et une droite (g'); ces deuœ droites ont pour bissectrices : la tangente àP, et la normale au plan principal, au point considéré M.

4° Les droites {g) sont parallèles à l'un des plans directeurs ; les droites [g') sont parallèles au second plan directeur.

5** Deux génératrices (g) sont partagées par trois génératrices {g') en segments qui [sont proportionnels.

Cette dernière propriété est une conséquence géométrique de la précédente : elle prouve que les points d'intersection d'une génératrice mobile avec deux génératrices fixes, décrivent sur celles-ci deux divisions homographiques qui correspondent à réquation

« et V désignant les longueurs des segments variables.

LES PARABOLOIDES 347

330. Théorème. Le lieu des points y par lesquels passent deux génératrices rectangulaires du par aholoïde hyperbolique, est Vhyperholey intersection de la surface et du plan de Monge.

Menons, par l'origine, des droites y, y', paraUèles aux génératrices g et g'. Les équations de ces parallèles sont

Les droites y» y' sont rectangulaires si nous avons

D'autre pari, les équations {g) et [g'), donnent, par combinaison,

Les points cherchés appartiennent donc à la surface qui correspond àréquatîon

De plus, ils sont situés sur le paraboloïde, et nous avons