NN'MA FP ~ MB

Si nous posons

FP = i^, BMizy,

la relation précédente devient

ou

uv — 2au — 2CV zr o .

C'est une relation homograpliique; elle admet la solution î* rzo, î^zzo, parce que les points origines B, F, des deux divisions considérées, sont choisis de telle sorte que la droite qui les joint soit une des positions particulières de la droite mobile MP.

GÉNÉRATION DES QUADRIQUES 355

33S. Théorème. Lorsqu'une droite mobile ùi joint constamment les points correspondants de deux divisions homographiques situées sur deux droites non placées dans le même plan; A engendre, généralement, un hyperboloïde à une nappe.

Cette proposition, qui est la réciproque de celle que nous venons de démontrer, résulte très simplement des considérations précédentes.

Reportons-nous encore à la figure (44), et soient AB et EF les deux droites fixes proposées. Une équation homographique entre deux variables u, u, étant de la forme

aw + gi* -j- yv 4- = ,

Si nous prenons pour origines des divisions deux points E F, auxquels correspondent une solution de celte équation, la constante S disparaîtra et Téquation homographique sera, après ce changement des origines,

C'est ici qu'il convient de distinguer deux cas.

Dans le cas général, a n'est pas nul; c'est ce que nous supposerons d'abord, nous réservant d'examiner plus loin (§346) l'autre hypothèse.

Ainsi, en supposant a;zfo, l'équation précédente peut s'écrire

wy —

2au