CV
après
avoir
posé
Si nous prenons BA rz 2a, EF = 2c, et si nous construisons le parallélipipède dont les arêtes sont EF, FB, etBA, nous pourrons chercher la surface engendrée par une droite A s'appuyant sur les trois droites fixes AB, CD, EF. Chacune des génératrices de cette surface détermine sur AB et sur EF deux points qui, d'après ce que nous avons montré au para-
356 VlNGT-HUlTlÈMÈ LEÇON
graphe précédent, décrivent deux divisions homographiques donnant lieu, précisément, à Téquation (A).
Concluons donc que la droite A, décrit un hyperboloïde à une nappe.
88G. Remarque. Il faut bien noter, en appliquant ce théorème, et nous avons insisté tout à l'heure sur ce point, que l'équation homographique proposée doit renfermer le terme en uv. Lorsque l'équation donnée ne contient pas ce terme, nous montrerons tout à l'heure que la surface engendrée est alors un paraboloïde hyperbolique.
339 . Théorème. Quatre génératrices d'un même système, rencontrent deux génératrices de systèmes différents , en deuœ couples de quatre points qui ont le même r^apport ankarmonique.
Si nous prenons un point M, arbitrairement d'ailleurs, sur la quadrique, les plans Maa', M66', My/, M88', se coupent
Fig. 45.
suivant une même droite, cette droite étant celle des deux génératrices qui, passant par M, est d'un système différent de celui auquel appartiennent les génératrices aa', 66', yy'i 88'. Il résulte de là que deux génératrices A, A' rencontrent cellesci en quatre points qui peuvent être considérés comme appartenant à ces droites et à quatre plans passant par une droite commune. Les points (a, 6, y, 8), (a', 6', y'y 8'), ont donc,
GÉNÉRATION DES QUADRIQUES 857
par une propriété élémentaire connue, le même rapport anharmonique.
338. Théorème. Étant données deux droites fixes kj k!\ (a, 6, y), (a', 6', y')i désignant des points fixes pris, respectivement y sur ces droites; si une droite mobile IV rencontre constamment deu^x droites fixes A, ÈJ de telle sorte que le rapport anharmonique {ol, 6, y, 8) soit toujours égal à celui des points (a', 6', y', ^') ; lo^ droite î l' engendre, généralement, un hyperholoïde à une nappe.
Soit,
aY = fl, a5 — w; OL'^z=.a', a'$'=:i';
régalité
écrite sous la forme explicite, nous donne
6y 6'y' Sa S'a'
Sv S'y'
En posant
nous avons
ou,
uv{k — i)z=, — a'u + akv .
Les points 5, 5', décrivent donc sur A et A' deux divisions homographiques et nous avons montré (§ 335), que, dans celte hypothèse, 88' engendrait un hyperholoïde à une nappe.
Nous nous supposons placés, bien entendu, dans le cas
général ; les points fixes (a, 6, y), (a', 6', y), étant quelconques. Si fe=i, la conclusion précédente n'est plus exacte et nous allons montrer tout à l'heure (§ 345 et 346) que, dans ce cas particulier, la surface engendrée est un paraboloïde hyperbolique.
389. Remarque. Quatre droites prises au hasard, dans l'espace, ne sont pas situées, en général, sur le même hyperboloïde à une nappe. En effet, si Ton imagine les trois premières, il existe une hyperboloïde à une nappe passant par ces trois droites ; la quatrième droite rencontre cette surface en deux points, mais en général, n'est pas située sur elle. Le fait que quatre droites d'une figure géométrique de l'espace appartiennent au même hyperboloïde à une nappe, constitue donc une propriété de cette figure. Voici deux exemples remarquables de l'observation précédente.
340. Théorème. Les quatre hauteurs d'untétraèdre sont les génératrices d'un hyperboloïde à une nappe. Soit AA' la hauteur qui correspond au point A ; par les
arêtes AB, AC, AD, faisons passer des plans perpendiculaires, respectivement, sur les faces CAD, BAD, BAC. Nous savons que ces trois plans passent par une même droite Aa-
Cette remarque étant faite, observons que la perpendiculaire abaissée de B sur CAD est située nécessairement dans le plan BAa ; elle rencontre donc Aa ; et comme la perpendiculaire AA' abaissée sur la faceBCD rencontre visiblement Aa, on peut dire que les quatre hauteurs du tétraèdre rencontrent la droite Aa.
Si nous concevons maintenant les droites analogues à Aa, les droites B6 et Cy, nous pouvons imaginer un hyperboloïde à une nappe passant par les trois droites Aa, B6, Cy ; les quatre hauteurs du tétraèdre rencontrant ces trois droites sont donc quatre génératrices de cette quadrique.
Fig"46.
GÉNÉRATION DES QUADRIQUES
La propriété énoncée se trouve ainsi établie ; elle est due à Joachimsthal,
341. Théorème. On sait que des forces appliquées à un corps solide, peuvent , d''une infinité de façons, être réduites à deux ; si Von considère deux réductions, les quatre forces correspondantes appartiennent à un même hyperboloïde à une nappe. (Ghasles.)
Soient : U, V, le système correspondant à la première réduction ; U', V, celui qui a été obtenu par la seconde. Considérons maintenant deux forces U^', V, égales et contraires aux forces U et V. Le corps solide proposé est en équilibre sous l'action des quatre forces U, V, U'', V'; ou, si Ton préfère, sous Faction des forces données, et sous celle de U" et deV".
Fig. 47.
Remplaçons maintenant les forces données par les forces U', V et nous pourrons dire encore que les forces U^ V" , U', V, laissent le corps en équilibre.
Imaginons alors une droite A rencontrant les trois droites U, U', V, chose possible ; et supposons qu'elle soit rendue fixe, ce qui, évidemment, ne détruit pas l'équilibre dont nous venons de parler. Si A ne rencontrait pas V, les trois forces U, U', V, étant détruites par la fixité donnée à A, nous pourrions considérer le corps comme soumis à l'action de la seule
force V ; il y aurait donc, nécessairement, rotation de ce corps autour de A. Ainsi A rencontre V, et en prenant deux autres droites A', A'^, analogues à A, nous reconnaissons ainsi que les quatre forces U, V ; U', V ; rencontrent les trois droites A, A', A"; elles appartiennent donc au même hyperboloïde à une nappe.
