GÉNÉRATIONS DU PARABOLOÎDE HYPERBOLIQUE

349. Théorénke. La sur face engendrée par une droite G, s'appuyant constamment sur trois droites fixes A, A', A", parallèles à un même plan P, est une paraboloîde hyperbolique.

Prenons A pour axe OX ; une position particulière de G, pour axe OZ ; et une parallèle à A' pour axe OY.

Fig. 48.

Dans ces conditions, les équations des droites données peuvent s'écrire :

wi:=:; (^')i:=;; «^M-r

D'après une remarque déjà faite (p. 352), les équations de la droite G peuvent se représenter par les égalités :

y:=:\z, z — hz:z[KX ,

GÉNÉRATION DES QUADRIQUES

La droite L" rencontrant G, on a la condition

et le lieu décrit par G est la surface qui correspond à l'équation

m {h* — h)xz — h'y {z — A) = o .

Cette égalité représente une surface du second ordre; et, en prenant les dérivées partielles par rapport à a: et par rapport à y, on trouve les deux équations

qui sont visiblement incompatibles, A et A' étant différents de zéro.

En résumé, la quadrique trouvée admet des génératrices rectilignes non parallèles et n'a pas de centre ; le paraboloïde hyperbolique est la seule surface du second ordre qui remplisse ces deux conditions,

843. Théorème. Lorsqu'une droite G s'appuie constamment sur deux droites fixes ii, A', en restant parallèle à unplan fixe P, elle engendre un paraboloïde hyperbolique.

Cet énoncé sous-entend qu'aucune des droites A, d' n'est

Fig- 49-

parallèle au plan donné P; soient A et A' les points communs àPet àces droites.PrenonsAA'pouraxe des a;; le point 0, milieu

de AA.', pour origine ; par ce point 0, menons aussi 08 et 05' parallèles, respectivement, à A et à A' Le plan 50B' coupe P suivant une (Jroile que nous adoptons pour axe OY. Enfin si nous considérons, dans le plan 808', une droite MM' parallèle à OY ; nous prendrons pour axe OZ la droite qui joint le point au milieu de MM'. En d'autres termes, OZest la droite conjuguée harmonique de OYpar rapport au faisceau 03, 08'.

Dans ce système d'axes, les équations des droites A, A', en posant OA. — OA' z: a, sont :

Les équations de (G) sont donc y — mz -j-X(a? — a)i=o, î/ + ^^ + [x (a? -f- a) = o .

Il nous reste à exprimer que G est parallèle au plan XOY. Or, en faisant z zz o dans les équations précédentes, on a

y + X (iT — a) = , 2/ + [JL (d? -f- a) = ,

et le point d'intersection de G et de P sera rejeté à l'infini, si Ton suppose

Le lieu d'écrit par G est donc la surface qui correspond à l'équation

(y — mz) (iT -f- «) = (y -h m^) {x — a).

Cette égalité, simplifiée, s'écrit

mzx :=ay .

On vérifie que la quadrique correspondante : i° n'a pas de centre à distance finie ; 2° admet des génératrices rectilignes non parallèles ; cette quadrique est donc un paraboloïde hyperbolique.

GÉNÉRATION DES QUADRIQUES

844. Th^réme. La surface engendrée par une droite (1, rencontrant constamment deux droites fixes A, A', et également inclinée sur celles-ci, est une paraboloïde hyperbolique.

Prenons, quelque part, un point o ; et, par ce point, menons des droites og, o5, o3', respectivement parallèles à G, a A, et A'. La droite og est inclinée d'angles égaux sur o5 et sur o3' ; elle se projette donc sur le plan 8^5' suivant une droite oM

Fig. 5o.

qui, pour des raisons évidentes, est la bissectrice de l'angle coS'. Le plan goU a donc une position bien déterminée, quelle que soit la droite G considérée ; on peut donc envisager celle-ci comme une droite mobile, s'appuyant constamment sur deux droites fixes, en restant parallèles au plan fixe goU ; et il a été reconnu (§ 343) qu'une pareille droite engendrait un paraboloïde hyperbolique.

34&« Théorème. Lorsqu'une droite M'N', rencontre constamment les côtés opposés d'un quadrilatère gatùche MNM^'N et partage ceux-ci dans le même rapport y cette droite engendre un paraboloïde hyperbolique.

Lorsque deux droites AB, CD, sont partagées aux points M, M', M''; N, N', N''; en parties proportionnelles, on sait que l'on peut mener par les droites MN, M'N', M''N% trois plans parallèles. Imaginons un plan P parallèle à ceux-ci : on peut dire alors que ces droites s'appuient sur AB et sur CD, en restant parallèles à P. Elles sont donc, en définitive, trois génératrices d'un paraboloïde hyperbolique, engendré par une droite M'N' rencontrant constamment AB, CD, en res-

364 VINGTHUITIÈME LEÇON

tant parallèle à un plan fixe, celui-ci étant déterminé, quant à sa direction, par la condition d'être parallèle aux deux droites données MN, M"N".

341G. Remarque. On peut énoncer la propriété précédente dans une forme différente en disant : lorsqu'une droite mobile WN' s'appuie constamment sur deux droites fixes, si les points communs décrivent sur ces droites deux divisions homographiques correspondant à Véquation

(i) aw4- 6î? + Yi=ro,

M'N' engendre un paraboloîde hyperbolique.

Soit M^N" une position particulière de la génératrice M'N', réquation homographique (i) devant être vérifiée pour w=:o, V zz 0, la constante y est nulle, et réqua'ion se réduit à :

Celle-ci admet la solution évidente

uzz. — 6, D=:a.

Prenons comme nous avons, d'ailleurs.

GÉNÉRATION DES QUADRIQUES 365

nous voyons donc que

UW ■" NN" *

Ainsi lescôtés opposés du quadrilatère gaucheMNM^N" sont partagés par la droite mobile M'N' dans le même rapport et nous avons vu que, dans cette hypothèse, M'N' engendrait un paraboloïde hyperbolique.

Cette proposition est la réciproque de la propriété 5, du paragraphe 329.

3^11. Théorème. Les tangentes menées, parallèlement à un plan P, à une surface réglée, en tous les points d'une génératrice A, engendrent un paraboloïde hyperbolique.

Soit A' une génératrice voisine de A ; prenons sur A un point A et considérons la droite G qui : impasse par ce point,

Fig. 53.

2«est parallèle à P, et 3° s'appuie sur A'. Toutes ces droites G qui correspondent aux différents points de A appartiennent au même paraboloïde hyperbolique. Si nous supposons maintenant que A' soit mobile et viennne coïncider avec A, la droite AA' a pour position limite celle d'une tangente à la surface considérée ; la proposition énoncée, se trouve donc établie.

EXERCICES

f . Trouver le lieu des points qui sont à égale distance de deux droites données dans l'espace.

Les axes de coordouoées étaut ceux qui correspomlent aux deux droites

proposées, conformément à la règle donnée (Exe, 6 ; p. 70), on trouve que

le lieu est représenté par Téquation

mxy -{- h(m* -\- i);2; = o .

Le lieu cherché est un paraboloïde hyperbolique.

On peut généraliser cette question, en cherchant le lieu des points M tels que le rapport de ses distances à deux droites fixes données soit constant. (Examens oraux, 1884.) Ou discutera Téquation de la quadrique trouvée (qui n'est jamais un ellipsoïde) au[moyen deTéquatiouen S, paria méthode développée dans la leçon .suivante.

12. On considère une ellipse E ayant pour axes 2a et 26, une droite A tangente à cette ellipse et un des foyers F ; puis on suppose que^ à chaque instant^ on fasse tourner l'ellipse autour de A comme charnière, d'un angle ç. Le point F vient occuper dans Vespace une position f ; trouver le lieu décrit par f, (Reynaud et Duhamel.)

Ce lieu est, eu général, une quartique gauche située sur un cylindre para, bolique. L'origine étaut au point F, Taxe focal étant pris pour axe des x et les axes étaut rectangulaires, le lieu est représenté par Tensemble des solutions communes aux deux équations :

a;*-l-y*=:inV, X -\-y 1 ex = b

3 . Démontrer que le lieu des points tels que la somine des carrés de leur distances à n plans fixes soit constante, est un ellipsoide.

4. On considère des axes rectangulaires et sur OX, deux points fixes A, A', (OA = OA' =«) ; soit U une conique mobile, ayant ces points pour sommets et rencontrant constamment une droite A représentée par les équations: {z =: h, X = wy + na). Trouvé le lieu décrit par la conique {]. (Examens oraux, 1876.)

On remarqura que la projection de U sur YOX est une conique ayant pour axe AA' et dont l'autre axe est dirigé suivant OY. En s'appuyaut sur cette remarque, on arrive très simplement à Téquation :

On cherchera les génératrices, les plans principaux, les pJans cycliques et l'ellipse <fe gorge de cet hyperboloïde, dont l'un des axes est égal àa.

VIINGMNËUVIÊME LEÇON

3^S. Le problème que nous allons résoudre dans cette dernière leçon peut se définir ainsi : étant donnée une équation du second degré à trois variables, trouver quelle est la nature^ ou Vespèce, de la quadrique qui lui correspond.

Il existe bien des méthodes pour répondre au problème que nous venons de nous poser; mais, parmi elles, il y en a deux qui nous paraissent devoir être tout particulièrement distinguées; Tune, la méthode par la décomposition en carrés, à cause de la grande facilité que présente son application; l'autre, plus difficile, plus longue, mais conduisant plus loin que la précédente et pénétrant plus profondément dans la question. Cette seconde méthode qui permet, dans un grand nombre de cas, de donner les dimensions mêmes de la surface, est dite méthode par V équation en S.

Pour bien marquer Timportance qui s'attache à ces deux méthodes, nous les nommerons méthodes g^énérales , et nous appellerons méthodes auxiliaires celles que nous exposerons plus loin, méthodes ordinairement moins pratiques, mais qu'il faut connaître parce qu'elles s'appliquent très heureusement à certains exemples particuliers.

349. Première méthode g^énéraie. (Décomposition en carrés,) L'idée de cette méthode, dont le principe est dû à Plûcker, a déjà été donnée (Leç. 11). Nous résumerons en quelques mots la marche qu'il faut suivre quand on veut appliquer ce genre de discussion.

L'équation de la surface étant .

f représente une forme quadratique des lettres [x, y, z, t) et, danff'cette expression, la forme ? ne peut pas être identiquement nulle. On pourra donc appliquer à f les procédés de calcul que nous avons indiqués en algèbre pour décomposer en carrés les formes quadratiques, mais en observant que la lettre t n'est pas choisie comme lettre ordonnatrice, chose possible, puisque, encore une fois, ? n'est pas identiquement nul.

La méthode de décomposition en carrés, que nous avons nommée {Alg., § 342) méthode par réduction, conduit ainsi, pour fj à une certaine forme algébrique ; et, de cette forme, en appliquant les résultats déjà signalés (Leç. 11), on déduit le genre et l'espèce de quadrique qui correspond à l'équation proposée.

350. Deuiiièmc méthode g^énérale. {Méthode par Véquation en S.) L*équalion en S, comme nous l'avons vu (§ *90> n'a Jamais ses trois racines nulles; mais elle peut, suivant les cas, avoir ses trois racines différentes de zéro, ou posséder soit une racine nulle, soit deux racines nulles.

De là trois cas que nous distinguerons :

i^ L'équation en S n'a aucune racine nulle. En désignant par S', S", S"', les trois racines de l'équation en S, on sait que l'équation de la surface peut se mettre sous la forme

(A) SV + sy + SV+^no.

On imagine alors le tableau suivant ;

L'équation en S ayant ses racines réelles, un des corollaires du théorème de*Descartes(i4/^., § 485) nous apprend

que le nombre des racines positives de cette équation est précisément égal au nombre des variations de son premier membre.

D'après cette remarque, et sans qu'il soit nécessaire de calculer les racines de Téqualion en S, on pourra connaître le nombre des variations du tableau (i), quand on aura forme A (S).

On comprend alors comment la connaissance des signes des coefficients de l'équation (A) entraîne la détermination de l'espèce de quadrique qu'elle représente.

' 2® Véquation en% a une seule racine nulle, La surface est un paraboloïde ou un cylindre ; suivant que iï est différent de zéro, ou égal à zéro. Le paraboloïde peut être elliptique ou hyperbolique, de même que le cylindre. On distingue ces deux cas au moyen du signe des racines de Téquation en S, débarrassée delà racine nulle.

Dans le cas où H = o, la surface étant un cylindre, une section plane (celle qu'on obtient en faisant x = o, par exemple) suffit pour distinguer quel est le genre de cylindre qui correspond à Téquation proposée. Pourtant, si, en coupant par un plan, on obtenait deux droites parallèles, on devrait avoir recours à une seconde section faite par un autre plan, non parallèle au précédent.

3" Véquation en Ha deux racines nulles. La surface est un cylindre parabolique, ou un système de deux plans parallèles. Une section plane (ou deux sections planes faites par des plans non parallèles, quand la première donne, deux droites parallèles), permettra de dire quelle est la surface proposée.