MÉTHODES AUXILIAIRES

361 . Méthode par le centre, les diamètres et les sec* tlons plaiM^s. La discussion que nous avons faite précédem-

De L. Tome III. ^4

370 VINGT-NÈUVlÈME LEÇON

ment (lec. lo) permet de dire d'abord à quelle classe appartient la surface qui correspond à l'équation proposée. 11 reste ensuite, la classe étant déterminée, à trouver quelle est l'espèce de la quadrique

1** Supposons d'abord que nous soyons placés dans le cas de la première classe.

Transportons les axes, parallèlement à eux-mêmes, au centre de la surface et considérons : i° la section faite par le plan XOY ; 2° les points d'intersection R, R', de la surface par la droite A, conjuguée de ce plan. De la nature de la section qui est une ellipse ou une hyperbole, et de la réalité, ou de la non-réalité des points R et R', nous pouvons déduire quels seraient les signes des coefficients a, a', a", dans l'égalité

équation qui représenterait la quadrique proposée, rapportée à trois diamètres conjugués. Nous pourrons donc, d'après ces considérations, décider quelle est l'espèce de la suface qui correspond à Téqualion donnée.

2° Dans les surfaces de la seconde classe, les sections faites par les plans de coordonnées ne pouvant pas donner trois paraboles (§ 32o et 32 1) une de ces sections sera certainement une ellipse ou une hyperbole. On saura donc si l'on est en présence d'un paraboloïde elliptique, ou d'un paraboloïde hyperbolique.

3° Lorsqu'on trouve une ligne de centres, le cylindre qui correspond à l'équation donnée peut être elliptique ou hyperbolique; il peut aussi être aplati, c'est-à-dire formé par deux plans sécants réels ou imaginaires. Les sections par les plans de coordonnées permettent de différencier ces espèces diverses.

4** Si la ligne des centres est rejetée à Tinfini, la surface est un cylindre parabolique.

50 Enfin, s'il y a un plan de centres, l'équation proposée représente deux plans parallèles.

3&9* Métiiode par les g^énératrîoes. Au point de Vue

des génératrices, les quadriques se séparent nettement en deux familles : la première est formée des surfaces qui n*ont pas de droites réelles ; l'autre est constituée par celles qui admettent des génératrices rectilignes.

Dans le premier cas, la quadrique proposée peut être Tune ou l'autre des surfaces suivantes :

i Ellipsoïde, Hyperboloîde à deux nappes, Paraboloîde elliptique.

Dans le second cas, on est en présence d'une quadrique faisant partie du tableau suivant :

Hyperboloîde à une nappe, Paraboloîde hyperbolique, Cône,

Quadriques régulées.

Cylindre < hyperbolique, { parabolique, Plants sécants.

Plans parallèles,

1° Dans la première famille, si l'on peut mettre en évidence certaines sections planes, par exemple une hyperbole; on pourra dire que la surface est un hyperboloîde à deux nappes. Si la section est elliptique, quelle que soit la direction du plan sécant, la surface proposée est un ellipsoïde. Enfin, si l'on trouve des sections elliptiques et paraboliques et si l'on reconnaît l'impossibilité des sections hyperboliques, la surface est un paraboloîde elliptique. >

2*» Dans la seconde famille, on distingue les espèces de la manière suivante :

Soit A une génératrice de la quadrique donnée Q. Cherchons à placer sur Q une droite A' parallèle à A ; diflférentâ cas se présentent dans la solution de ce problème^

1** 11 y a une seule solution à distance finie, distincte de A ; la surface est un hyperboloîde à une nappe*

2* Il y a une solution rejetée à l'infini; l'équation représente un paraboloïde hyperbolique.

3*» Il y a une solution qui se confond avec A ; la quadrique considérée est un cône.

4" Il y a une infinité de solutions. Dans ce dernier cas, la surface est un cylindre ou une variété de cylindre, variété formée par deux plans, sécants ou parallèles. Pour distinguer ces différentes surfaces, on effectue une section par un plan arbitraire; la courbe du second ordre que l'on obtient ainsi est une véritable conique, ou une variété. Dans tous les cas, cette section caractérise la surface ; mais, dans le cas où la section obtenue est constituée par deux droites parallèles, il faut, pour conclure, que le plan sécant soit, comme nous Tavons dit, arbitraire.

3S3. Contour apparent. Si l'on considère un plan P et des droites A qui se meuvent, parallèlement à elles-mêmesen restant tangentes à une quadrique Q, le lieu décrit par les traces des droites A sur P, s'appelle le contour apparent de Q, sur ce plan, relativement à la direction des droites A.

Prenons les équations de A sous la forme

La détermination de l'intersection de A et de Q dépend de réquation

En exprimant que A rencontre Q en deux points coïncidents on a

{^fj + ê/y' + ï/*;)' = if{x, y, z) ? (a, 6, y).

Cette équation a été déjà signalée (§ 98) ; elle représente, comme nous le savons, le cylindre circonscrit à Q, et dont les génératrices sont parallèles à A. L'intersection de ce cylindre et du plan donné P fait connaître le contour apparent cherché.

En déterminant le contour apparent de la quadrique sur

les plans de coordonnées, on obtient ainsi des courbes qui peuvent aider, dans quelques cas, à fixer le genre de la surface proposée.

Par exemple, deux contours apparents elliptiques, sur deux plans non parallèles, ne peuvent provenir que d'un ellipsoïde; un contour apparent formé par deux droites sécantes est caractéristique des surfaces coniques; etc..

Nous allons maintenant montrer, sur deux exemples, Tapplication des méthodes précédentes.

3S41. Problème I. Trouver quelle est la surface représentée par V équation

(i ) (b* + c*)a?-\- {a* -f c*) y* -f- (a* -h h*) z* — ihcyz — '^aczx

— lahxy = rf*(a* + 6" H- c*) .

(Concours académique de Poitiers, 1876.)

1* La méthode par la décomposition en carrés conduit à écrire Féquation proposée sous la forme :

( by -{-czy

x^¥T?-a:^==\ +{a' + b'^c'){cy^bzy

=:d«(a*-f.6'-hc*).

On voit ainsi que la surface est un cylindre elliptique et que les génératrices de ce cylindre sont parallèles à la droite qui correspond aux équations

On peut encore employer la méthode précédente en observant que réquation proposée peut s'écrire (*)

u* + v* -hw' zzd* {a* -^b' + c*),

après avoir posé

u^:cy — bz, v^:az — cx^ w:s:bx — ay.

Mais les formes m, v, w, obtenues par ce groupement, ne sont pas indépendantes, et Ton a

aU'{'bV'^cws:o.