V. Leç. 9; ex

Un autre groupement se présente aussi, assez naturellement, en observant que Téquation (i) peut s'écrire

(a?" + y' H- z* — (f ) (a* 4- 6" -♦- O = (ao? + ôy -h C2)*.

Sous cette forme on reconnaît que le cylindre donné est de révolution et qu*il est circonscrit à une sphère de rayon d, ayant son centre à Torigine des coordonnées.

a* On arrive au même résultat, et par une voie plus méthodique, en appliquant réquation en s, à l'exercice proposé.

Le calcul prouve d*abord que A est nul ; l'équation en H admet une racine nulle et les deux autres sont données par réquation

S' — aSCa'-f-ô' + O + C^' + ^' + cT^^- On a donc, dans cet exemple,

S'^ = o, et S' = S''=:a« + 6* + cV

Ainsi, réquation réduite de la surface proposée est

et Ton aboutit à la conclusion déjà obtenue.

355 . Problème II. Quelles sont les diverses surfaces qui peuvent être représentées par V équation :

(i) ax* -f- ay* -f- bz* -+- ^otyz + iolzx — ^aocy zz i .

1** Si Ton observe que celte équation peut s'écrire

a{x — yy -^^ z{hz -^ i%y -\- i(x.x) •=! \ .

ou, dans la notation abrégée,

aU*-+-VW=:i.

U,V, W, sont, dansle cas général, des fonctions indépendantes ;

on forme alors, immédiatement, le tableau suivant ;

Hyperboloîde à une nap'pe.

a;zfo,

Cylindre hyperbolique.

a zz ,

azz ,

Deux plans parallèles.

a;zfo,

Hyperboloîdes à deux nappes.

a;zfo,

aziz ,

l o6> , Cylindre eUiptique, ( ao <C , Cylindre hyperbolique.

a;2fo,

6 rz , Demr, plans coïncidents.

2° Avant d'appliquer à l'équation (i) la méthode par l'équation en s, nous ferons, à propos de l'exercice qui nous occupe, une observation qui trouve son application dans un grand nombre de cas et qui, pour ce motif, nous paraît importante.

Nous avons avancé précédemment (§ 348), que la méthode, dite par Téquation en S, était supérieure à toutes les autres, lorsqu'on voulait faire une étude un peu approfondie de réquation proposée, parce qu'elle permettait de trouver ce que nous avons appelé les dimensions de la surface; c'est-àdire la grandeur de ses axes.

Malheureusement, l'équation en S est du troisième degré; ses trois racines étant réelles, elle appartient au cas que nous avons nommé, en algèbre, cas irréductible ; et, pour ce motif, on ne peut pas, en généralj résoudre l'équation

en S.

Mais celte résolution devient possible lorsque l'équation en s est quadratique^ c'est-à-dire lorsqu'elle est décomposable en deux facteurs rationnels.

Le dernier terme de réquation en S étant le discriminant A de la forme ç, on voit que la résolution de réquation en S est possible, quadratiquement, pour les surfaces des quatre dernières classes.

La difficulté subsiste uniquement pour les surfaces de la première classe (A ;zf o) et, pour ces quadriques, elle est, en général, insurmontable. Ce n'est plus que dans des cas parti-

culiers qu'elle peut être tournée et, nous voulons signaler ici ceux d'entre eux que l'on rencontre le plus ordinairement.

Lorsque la quadrique est de révolution, Téquation en s admet deux racines égales ; elle se décompose donc en facteurs rationnels du premier degré.

Mais voici un autre cas, moins particulier, où Féquation en S est encore quadratique ; c'est le cas où deiix des nombres de Jacohi sont égaux. Nous avons montré (§ igS) que, dans cette liypothèse, l'équation en S se décomposait rationnellement en deux facteurs. On devra donc toujours, avant d'appliquer la méthode par l'équation en S, calculer les nombres de Jacobi et si, parmi eux, il s'en trouve deux qui soient égaux à une certaine quantité a, on peut affirmer que a est une racine de l'équation en s. Ayant ainsi prévu lefacteur s — a, dans le premier membre de l'équation, on effectue immédiatement une décomposition qui serait, le plus souvent, difficile à reconnaître sans cette remarque, heureuse conséquence de la méthode de Jacobi.

. Revenons maintenant à l'équation (i), et proposons-nous de lui appliquer la méthode de l'équation en S. Les nombres de Jacobi étant

^'W BW BB'

on voit qu'en supposant

B = B', et A = A',

il y a, dans la suite précédente, deux nombres égaux. D'après cela, et conformément à la remarque que nous venons de développer, on peutêtre certain, avant tout calcul, que le premier membre de l'équation en S qui correspond à (i), admet lefacteur S — 2a.

On trouve, en effet ;

S' — (2aH-ô)S'-h2(a6 — a')S-f-4«a'=zo ou

(S— m) (s*— 6S • 2a') iz o. •

Les trois racines deréquation en S sont donc

La seconde racine a le signe +, la troisième le signe — ; quant au signe de la première racine, il est le même que celui de a. On a donc un hyperboloïde à une nappe ou à deux nappes, suivant que a est positif ou négatif.

Nous avons raisonné dans le cas général et en supposant a.a 7f o. Lorsqu'on suppose a. a =0, Féquation en â( admet une racine nulle et en examinant, successivement, les hypothèses: 1** a = o ; 2« d = o ; 3*» a = 0, et a = ; on retrouve les résultats que nous avons déjà signalés, en discutant réquation (1), par la méthode de la décomposition en carrés.

EXERCICES

i . Désignant par x, y, z, des coordonnées rectangulaires et par m un paramètre variablCy on demande de déterminer les diverses surfaces que peut représenter Véquation

ir' + (am"-f-i)(y* + 2*) — 2(^y4-^J? + a?t/) = 2w'— 3m4- * >

lorsque le paramètre m varie de— 00 à + 00 .

(Ecole Polytechnique, i858.)

On peut appliquer à cette équation la remarque que nous avons faite tout & rheure et on prévoit ainsi, â priori ^ une racine égale à 2 (m*-f- 1).

L*équation en S est

S»(4wi*4-3)s"-f-4w'(m'4-2)S — 4(m*— i)=o, {')

ou

1 Nous avons indiqué en algèbre (p. 168 ; l 17a) une méthode pour résoudre cette équation, et d'autres équations analogues, sans connaître le résultat qui a été prévu ici par des considérations d'un ordre tout particulier.

Le tableau suivant résume la discussion.

»n =1: 4" oc. Cylindre droit.

Ellipsoïde réel,

W= 1^ Une droite.

Hyperboloide à deux nappes,

mzz — Cône,

Hyperboloide à une nappe.

lyj -— j , Cylindre hyperbolique.

y Ellipsoïde réel, m-zz — 00^ Cylindre droit.