Quelles sont les surfaces représentées par l'équation

(1) a{af'h^yz)-\-b(y*'-h^zx)'\-c(z* + 2xy) zz i .

(Ecole Polytechnique, 1861.) L'équation en S est

(a) S* — (a-H6 + c)S*+(aô4-ac-h6c — «• — 6* — c*)S

En observant (Alg., § 1) que l'on a

0'+ b'-h C— 3abc s: (a + 6 -h c) (a*-h &'•+- c*— ab — ac — bc) et, en posant :

fl-hô + czzjt), a* + V + c* — ab — ac — bczzq^

réquation (a) s'écrit :

Sous cette forme, on reconnaît que cette équation est quadratique et qu'elle peut s'écrire

La fonction q est toujours positive ou nulle, parce qu'elle est une somme de trois carrés (Alg., § 1), mais s'il nous fallait une preuve de cette propriété de la fonction q, elle résulterait de ce fait que l'équation en S a toujours ses racines réelles.

EXERCICES 379

Si q est nul, on a a =. b =: c^ l'équation (i) représente deax plans parallèles.

Si, au contraire, on suppose 7 ;^ o, on a le tableau suivant:

p > , . . . Hyperbolùide à une nappe, pzno , . . . Cylindre hyperbolique équilatêre, jo < , . . . Hyperboloîde à deux nappes. ,

3. Discuter les surfaces d^espèces différentes qui sont représentées par les équations suivantes :

1** 6" (ic* -h z*) -+- c" (a:" -H 2/*) — ika*yz =1 .

î»" a" (y" -h z*) + y (ir« + z') 4- Mhxy = d^(a' + b*) .

4. Trouver les dimensions de Vellipsoïde qui correspond à V équation:

/x y a'+b' V fx yV ^ /f y ££\' ^ , \a^^ b abc / \b a) \a b ab)

Examiner le cas oti Von suppose