L'équation (n

Ya;-Xy = m(a.^f--y^,j, (I)

peut donner lieu à une interprétation géométrique remarquable.

Soient m' la projection du point m sur le plan des œy (flg. 8), p et 6 les coordonnées polaires de ce point m' ; on a facilement :

xdy — ydx « pW.

Or, ^p«d9 est l'aire élémentaire décrite pendant le temps dt par le rayon vecteur p sur le plan des ooy. En désignant par A« l'aire décrite par ce rayon vecteur à la fin du temps t^ cette aire étant comptée à partir d'une droite fixe, l'axe des œ par exemple, nous aurons :

xdy — ydx «= 2dkz,

Par suite, l'équation (1) nous donne :

^ ^ ^ d^kz dH2kz)

Yx-Xy^2m ^^, -m-^^,

ou bien :

'Q et g ayant la signification indiquée précédemment (n^ 23). D'ailleurs, le plan des œy étant quelconque, on a le théorème suivant :

Théorème. — Dans le mouvement projeté sur un jÂeùn, le moment de la force projetée est relié au double de Caire décrite par la projection du rayon vecteur par la même loi qui relie la force et Vespace parcouru dans le mouvement rectiligne.

27. Si la direction de la force P rencontre constamment l'axe des z, ou lui est parallèle, le moment Qq est nul à. chaque instant, et l'on a :

d'où :

dAs c

et, par suite, en intégrant de nouveau

la coristante étant nulle, si l'on admet que l'on compte les aires à partir de la . position initiale du rayon vecteur p.

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Lorsque la direction de là force motrice rencont7^e constamment un axe fixe ou lui est parallèle, le 7^ayon recteur mené d'un point dé cet axe au point mobile, projeté sur un plan perpendiculaire à Vaxe, . déc7*it dans ce plan des aires proportionnelles au temps.,

C'est en cela que consiste le théorème de la conservation des aires^ ou mieux de la proportionnalité des aires.

88. Supposons maintenant que la direction de la forcé P pa^se constamment par un point fixe 0, et prenons ce point pour origine. La force P rencontrant alors les trois axes coordonnés, nous pouvons appliquer le théorème précédent à chacun de ces axes, et nous aurons les trois équations r

qui sont équivalentes aux trois suivantes :

dz du

dx dz ^

'-di-''di = ^'

rfy dx ^ dt ^ dl

Les constantes A, B, C se déterminent au moyen des conditions initiales, c'est-à-dire au moyen de la position initiale du mobile, et de la grandeur et de la direction de la vitesse initiale.

Les trois dernières équations n'étant autres que des combinaisons analytiques des équations du mouvement

sont des intégrales des équations du mouve^nent. Ce sont des intégrales premières de ces épations.

29. On en déduit facilement que la trajectoire du mobile est une courbe plane, dont le plan passe par Vorigine des coordonnées.

En effet, on sait que l'on obtient les équations de la trajectoire en éliminant t entre les expressions des coordonnées (I, n° 52), ce qui nous donne deux équations finies entre les trois variables œ, y, z. Or, en multipliant les trois équations précédentes respectivement par a?, y, z, et ajoutant, on obtient une équation indépendante du temps :

Ax + By + Cz = 0.

Cette équation est donc une des équations de la trajectoire. Or, elle représente un plan passant par l'origine des coordonnées. Donc, la trajectoire est plane, et son plan passe par le point fixe 0.

30. De ce que la trajectoire est plane, on déduit, en désignant par S l'aire décrite par le rayon vecteur 0«i, et en appliquant le théorème des projections des aires planes :

S = l/Aa.*-^ + A,/ + A/,

par suite,

Donc, l'aire décrite par le rayon vecteur dans l'espace est proportionnelle au temps. On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Quand la force qui sollicite un point matériel libre passe constamment par un oenl^'e fix€\ la trajectoire est une courbe plane dont le plan passe par ce centre^ et le, rayon vecteur mené du ■ centre au point mobile décrit, dans ce plan, des aires proportionnelles au temps.

Cette propriété constitue le théorème des aires.

31. Réciproquement, si le rayon vecteur mené d'un point fixe à un point libre m, décrit une aire plane qui varie proportionnellement au temps, la fore 3 qui sollicite le point matériel passera par le point 0.

En effet, si le rayon vecteur décrit une aire plane qui varie proportionnellement au temps, la même propriété aura lieu pour les aires décrites par les projections du rayon vecteur Om sur trois plans rectangulaires passant par le point 0.

Les dérivées de ces aires par rapport au temps seront donc constantes, et nous aurons les équations :

dz dif

dx ^ R

" dt ~^ dt "~^^'

du dt

y dt-'

, en diffcrcntiant,

d'z y dl'-

d'x ^ dt^

-y-dF"

OU bien, en ayant égard aux équations du mouvement :

Zy — Y^ = 0, Xz — Zx = 0, Yx — Xtj^O, d'où :

Donc, la direction de la force coïncide avec celle du rayon vecteur et par conséquent elle passe par le point 0. , ...

32. Propriété. — Lorsque la force qui sollicite un point maternel est constamment dirigée vers un centre fixe^ la vitesse de ce point est à chaque instant inversement promotionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre fixe sur la direction de la vitesse.

En effet, on sait (n° 25) que, dans ce cas, le moment de la quantité de mouvement dans chacun des trois plans coordonnés est une quantité constante, et Ton a pour chacun de ces plans la relation :

mup == const.

Or, la trajectoire étant plane, on peut prendre son plan pour plan des xy, par exemple, et l'on a dans ce plan, u étant alors la vitesse du point matériel :

mup = const,, ou bien :

up = K,

d'où :

ce qui démontre la propriété énoncée.

Théorème des forces vives.

Surfaces de niveau.

33. Travail d'une force. — Avant d'établir le théorème des forces vives, nous devons donner quelques détails sur le travail des forces.

Supposons un point matériel sollicité par une force constante en grandeur et en direction, la direction du mouvement coïncidant avec celle de la force. On appelle Travail de la force P le produit de cette force par le .chemin décrit par son point d'application. Si donc AB est le chemin décrit par le point d'applicatioxi de la force P pendant un temps t quelconque, le produit; P X AB sera le travail de la force pendant ce temps.

Considérons maintenant un point matériel libre sollicité par une force quelconque dont la grandeur et la direction sont données à chaque instant. Sous l'action de cette force, le point subit, pendant un temps infiniment petit dt, un déplacement infiniment petit mm\ dont la direction ne coïncide pas, en général, avec la direction de la force. On appelle Travail élémentaire de la force P, le produit de cette force par la projection sur sa direction du déplacement élémentaire ds du point d'application.

Si donc on désigne par a l'angle du déplacement, compté dans le sens du mouvement, avec la direction de la force, comptée dans le sens de la force^ le travail élémentaire de la force P sera :

P . c& ces a.

Ce travail élémentaire sera positif ou négatif, suivant que la projection du déplacement est dirigée dans le sens de la force, ou en sens contraire. Il sera donc positif ou négatif, suivant que l'angle « sera aigu ou obtus ; si l'angle a, est droit, le travail élémentaire sera nul.

En Mécanique appliquée, un travail positif est un travail moteur ^ et un travail négatif est un travail résistant.

Remarque. — L'expression du travail élémentaire peut être mise sous la forme :

P ces a . cte ;

sous cette forme, on voit que le travail élémentaire est le produit du déplacement élémentaire ds par la projection sur le déplacement de la grandeur de la force.

34. Théorème. — Si plusieurs forces agissent simultanément sur un même point matériel^ le travail éléinentaire de la résultante est égal à la somme des travaux élémentaires des composantes.

La démonstration de ce théorème est identique à celle que nous avons donnée (I, n° 377) pour le théorème des moments virtuels.

35. Travail total. — Si un point matériel, libre ou non, parcourt une trajectoire AB, et est sollicite par une force variable en grandeur et en direction,

— sole travail total de la force, pendant que le point décrit un arc quelconque de la trajectoire^ est égal à- la somme des travaux élémentaires de cette force correspondant aux différents éléments dont se compose le cheynin parcouru par le mobile.

En désignant par ds l'élément de la trajectoire, par a l'angle que fait la tangente au point m dans le sens du mouvement avec la force en ce point dans le sens où elle agit, nous aurons pour l'expression du travail total :

fp coscL.ds.

Remarque. — Si l'on désigne par T la composante tarigentielle de la force P, on a :

p ces a = T ;

par conséquent, l'expression du travail total peut être mise sous la forme :

fTds.

On en conclut que le travail élémentaire d'une force est égal au travail élémentaire de la composante tangentielle ; le travail total est égal à la somme des travaux élémentaires de la composante tangentielle.

36. Théorème. — Si plusieurs forces agissent simultanément sur un même point matériel, le travail total de la résultante de ces forces pendant un temps quelco7ique est égal à la somme des travaux des composantes.

Ce -théorème est évident, puisqu'il a lieu pour chacun des éléments dont se compose le déplacement total du points

37. Unité de travail. — Le travail, comme nous l'avons défini, est le produit d'une force par une longueur. Si nous prenons le kilogramme pour unité de force, et le mètre pour unité de longueur, Vunité de travail sera bien déterminée. Ce sera le travail développé par une force constante d'un kilogramme, lorsque son point d'application se déplace d'un mètre suivant sa direction.

Cette unité de travail s'appelle le kilogrammètre:

38. Ces notions établies, reprenons l'équation différentielle :

T étant la composante tangentielle de la force. Multipliant les deux membres par ds, il vient :'

m -yz dv = Tds, dt

ou bien :

mv dv == Hds.

En intégrant entre les limites correspondant à deux positions du mobile, on a :

mv^ — 771V Q^ = 2 fnds = 2 Tf ces oLd$l (1)

Vq étant la vitesse du mobile lorsqu'il occupe la position pour laquelle l'arc s est égal k s^.

Le produit nvo^ de la masse d'un point matériel par le carré de sa vitesse est ce que l'on appelle la force vive de ce point. L'expression ^ mv^ s'appelle Impuissance vive. On a donc le théorème suivant :

Théorème. — V accroissement de la force vive d'un point matériel pendant un intervalle de te^nps quelconque, est égal au double du travail de la force P pendant ce temps.

C'est en cela que consiste le théorème des forces vives pour le cas d'un point matériel libre.

39. L'équation (1) peut être mise sous une autre forme qu'il est nécessaire de connaître.

Soient œ, y, z les coordonnées rectangulaires du mobile à un instant quelconque, X, Y, Z les composantes de la force P parallèlement aux axes. On sait que le travail élémentaire de la force P est égal (n^ 34) à la somme algébrique des travaux élémentaires de ses composantes X, Y, Z. Or, le travail élémentaire de la force X est égal au produit de cette force par la projection du déplacement ds sur sa direction , projection qui est égale à dx : ce travail est donc Xdx. De même, les travaux élémentaires des forces Y et Z sont respectivement Ydy et Zdz. Par suite, le travail élémentaire de la force P a pour expression :

Xdûo + Ydfj + Zdz,

et l'équation (1) peut alors être mise sous la forme suivante :

772V' — mvo' = 2 f(Xdx + Ydy -f Zdz) ; (2)

Tintégrale du second membre doit être prise entre les limites correspondant aux positions extrêmes du mobile, c'est-à-dire entre les limites et Mu temps.

Cas particuliers. — Si la force P est nonnale à la trajectoire en chaque point, on a : T = 0, et l'équation (1) nous donne :

par conséquent, le mouvement est unifonne.

Si la force P est nulle, l'équation (1) nous donne encore :

et le mouvement est aussi uniforme.

40. Remarque. — L'intégrale du second membre de l'équation (2) a toujours un sens bien défini. En effet, X, y^ z sont des fonctions du temps t; par conséquent, dx, dy, dz sont aussi des fonctions de t, multipliées par dt. D'autre part, X, Y, Z sont, en général, des fonctions de œ, y, z et de ^ et, par conséquent, des fonctions de t. Il en résulte que Xdx + Yrfy -t- Zdz se réduit en dernière analyse à une fonction de t, multipliée par dt; par suite, l'intégrale du second membre peut toujours être calculée, quand le problème est résolu, et l'on peut ainsi vérifier le théorème des forces vives. Mais, il est évident que, dans ce cas, l'équation ne saurait être d'aucune utilité pour la connaissance des lois du mouvement : elle ne fournît aucune intégrale des équations du mouvement.

41. Il existe un cas où le théorème des forces vives prend une forme très remarquable : c'est lorsque

les composantes de la force motrice étant des fonctions des coordonnées œ, y y z du mobile, l'expression

Xc«a? + Ydy + Zdz,

est une différentielle exacte d!une certaine fonction de X, y, z que nous désignerons par 9 (a?, y, z). On pourra alors intégrer cette expression sans rien connaître d'ailleurs des valeurs effectives de a?, y, z en fonction de t.

En intégrant entre les limites et ^, et désignant par ^0, y^» ^0 ^^^ coordonnées du mobile pour ^ = 0, et par v^ la vitesse à cet instant, l'équation (2) nous donne :

\ mv^ - |mt?o« = (f (X, y.z) — (f (x^, yo, z^).

Elle constitue alors une intégrale des équations du mouvement^ et l'on dit que, dans ce cas, Vintégrale des forces vives existe.

42. Nous pouvons observer que, pour que lâr condition d'intégrabilité soit remplie, on doit avoir les trois identités :

dx dY

dY dZ

dy dcc''

dz dy '

dz^"

C'est ce qui arrivera lorsque X, Y, Z s exprimeront par les dérivées partielles d!une même fonction de x^y^z ne renfermant pas explicitement le temps.

Ainsi, par exemple, si l'on a :

^~dco' -^dy' ^^'W

— sali vient :

Xdx + Ydy + Zdz == d (f {œ, y, z).

L'Intégrale des forces vives est :

Cette fonction ç qui jouit de la propriété' que ses dérivées partielles prises par rapport aux coordonnées sont égales aux composantes de la force, s'appelle fonction de force. Il' résulte de ce qui précède que, s'il existe une fonction de force ne renfermant pas explicitement le temps^ Vintégrale des forces tives eanste.

43. L'équation des forces vives nous donne les propriétés suivantes :

r L'accroissement delà force vive, lorsque le mobile passe de la position {x^, y^y z^) à la position (x, y, z) ne dépend que des coordonnées des points extrênies : cet accroissement est indépendant de la trajectoire que lé mobile a parcourue dans l'intervalle et du temps qui s'est écoulé entre les positions extrêniés.'

2° La vitesse v du mobile est déterminée par la position qu'il occupe à l'instant considéré, de sorte qiië, si le mobile repasse plusieurs fois par la même position, il y repassera chaque fois avec la même vitesse.