Surfaces de niveau. — L'équation
m«2 — wwo^ = 2 j (p (d?, y, ^) - (p (a;„, y^, z^% (3)
nous apprend que, si la fonction 9 . (^, y, ^). reste invariable, la vitesse ne changera pas.
Or, si nous considérons l'équation :
c étant une constante, nous voyons que, pour chaque valeur de c, cette équation représente une surface.
Les diverses surfaces que l'on obtient en donnant à c des valeurs différentes s'appellent surfaces de niveau. Par chaque point de l'espace, il passe une surface do niveau et une seule, du moins si la fonction <p (^, y, z) a une valeur unique et déterminée pour un système donné de valeurs de a?, y, z.
De l'équation (3) il résulte que, si le mobile traverse plusieurs fois une même surface de niveau^ sa vitesse reprendra chaque fois la même valeur, puisque, pour tous les points de cette surface, ? {x^ y, z) reprend la même valeur. Ce résultat est indépendant du chemin parcouru par le mobile pour arriver à la surface, et du nombre de fois qu'il l'aura traversée entre les deux époques considérées.
45. Propriété. — Deux surfaces de niveau ne peuvent se rencontrer.
Cela résulte de ce que deux sux'faces de niveau ont pour équations :
? (^, y, ^) -= c, ff (X, y, z) « c\
et ces équations ne peuvent être vérifiées par les mêmes valeurs de a?, y, z.
46. Propriété. — La force qui agit sur le mobile en un point quelconque de Vespace^ est normale à la surface de niveau qui passe par ce point.
En effet, on a :
^^d^^ ^^di?' ^'=^' ^^>
or, X, Y, Z sont proportionnels aux cosinus directeur
de la force, et -r^» —• -r— sont proportionnels aux
dœ dy dz ^ ^
cosinus directeurs de la normale à la surface de niveau. Les équations (4) expriment donc que la force coïncide avec la normale à la surface.
Remarque. — On peut encore démontrer cette propriété au moyen de l'équation différentielle des surfaces de niveau :
Xdœ + Yrfy 4 Zdz — 0.
En effet, X, Y, Z étant proportionnels aux cosinus des angles que la force P fait avec les axes, et dx, dy, dz étant proportionnels aux cosinus des angles qu'un élément rectiligne de la surface fait avec les axes, l'équation précédente exprime la condition de perpcndicularité de la force à la surface.
47. Si l'on considère deux surfaces de niveau : 9 (œ, y, z) « c', 9 'a?, y, z) =* c\
rencontrées par le mobile respectivement aux points (a?, y, z), {x\ y\ z')y nous aurons :
Par conséquent, X accroissement de force vive est constant, et indépendant de la forme de la trajectoire
entre les deux surfaces, ainsi que des points où la trajectoire rencontre les deux surfaces et du temps qui s'est écoulé.
48, Propriété. — Si Po7i considère deux surfaces de niveau infiniment voisines, la distance de ces deux surfaces est', efi chaque point de la couche intermédiaire, inversement proportionnelle à là valeur correspondante de la force.
Soient S et S' deux surfaces de niveau infiniment
voisines (fig. 9), et
Fig. 9. V o /
? (00, 2/, ^) = c + de,
les équations de ces surfaces.
Soi t A un point de la surface S, et menons AB perpendiculaire à S' : la direction AB sera celle de là force P correspondante au point' A.
Si le point matériel va de A en B, ou de A en un point quelconque M de là surface S' infiniment voisin, et si nous désignons par v^^ la vitesse du mobile sur la surface S, et par v sa vitesse sur S', par x^, y^, z^ les coordonnées du point A, et par x, y, z les coordonnées au point M de S', nous aurons :
{mv^ — Imî^o* = cp {X, y, z\ - o [x^, y^,, z^) = de.
Mais, 7 mu* — \mvQ^ est égal au travail de la force P, travail qui est égal à P . AB,- quelle que soit la position du point M sur S' ^ ; on a donc : ^
P . AB « de.
1. AB est évidemment la .projection sur la force P du chemin parcouru par le mobile en allant du point A en un point quelconque M de S' infiniment voisin de A.
Or, de a la même valeur en tous les poiiits de la couche infiniment mince comprise entre les deux surfaces S et S'. Donc, en chaque point la valeur de la force P est inversement proportionnelle à l'épaisseur de la couche, ou à la distance des deux surfaces.
49. Remarque. — Parmi les cas où il existe une fonction de force ^ c^est-à-dire pour lesquels Hdœ + Y(iy + Zdz est une difiTérentielle exacte, nous citerons celui où la force est constante en grandeur^ direction et sens.
En prenant l'axe des z parallèle à la direction de la force, on aura :
et, par suite.
Xdx + Ydy + Ijdz = Pdz.
Hintégrale des forces vives ^^i^ dans ce cas,
\mv- — I m^o* =^P [z — Zq),
ou bien, en général.
mv^ = 2Pz + c.
Les surfaces de niveau ont pour équation :
-pdz =^ 0, d'où : dz = 0.
et, par conséquent.
^.= const.
Les surfaces de niveau sont donc des plans parallèles entre eux et perpendiculaires à la direction constante de la force P.
Si le point est soumis à la seule action de la pesanteur, on a P = mg, et aloi*s l'intégrale des forces vives est :
t?« = 2gz + c ;
les surfaces de niveau sont des plans horizontaux.
50. Un autre cas important où il existe une fonction de force est celui où le point matériel est sollicité par des forces dirigées vers des centres fixes^ et dont les intensités sont des fonctions des distances du point tnobile aux centres fixes.
Soient, en effet, C (a, h, c) un centre fixe, ra (a?, y, z) le point mobile, r sa distance au centre fixe, F (r) la force que nous supposerons attractive.
Les cosinus des angles que la force fait avec les axes étant:
il s'ensuit que les composantes de la force sont :
X — a -ni, \ y ^^ T^/ \ -2: - c .
nous aurons donc :
Xrfa?+Yrfy+Zd^« — — (0?— a do? f(?/ - b)dy'\-[z-c]dzl
Or, de la relation :
r« « (x^aY + {y — hY -l- [z-C)\
on tire :
rdr = (x — a)dX'\-{y--h)dy'^[z — c) dz^
et, par conséquent,
Hdx + Ydy + Zdz « — F(r) dr.
L'intégrale des forces vives est alors :
mv^
^ — 2fF{r}dr + c,
et la vitesse reprend la môme valeur chaque fois que
le mobile revient à la même distance du centre d'action.
On voit que, dans ce cas, la fonction de force
est — / F (r) dr. Les surfaces de niveau sont des sphères concentriques ayant pour centre le point C.
Si la force était répulsive, il suffirait de changer les signes des cosinus qui auront aloi'S pour valeurs :
les composantes de la force changeront de signes, ce qui revient à changer le signe de F(r).
Si le mobile est soUicité par un certain nombre de forces attractives F(r), Fi(rj), ¥^{r^, ... dirigées vers des centres fixes, on aura pour l'intégrale des forces vives :
mv^ « — 2^ F {r) dr — 2f¥, (rj) rfr^ + - . . + c
— 2 Sy F r) dr -f- c.
La fonction de force est alors :
'-'fF{r)dr—fF,(r,)dr, ... == — S^Frl^^.
Théorème de la moindre action.
51. Supposons un problème pour lequel l'intégrale des forces vives existe, de sorte que Ton ait pour tous les points de l'espace :
ou, en abrégé.
\mv^ = y (a?, y, z) + C.
Fig. 10.
Supposons qujB, pour aller de la position A à la
position B, prise sur la trajectoire effective AMB (fig. 10), le mobile suive une route quelconque ACB tracée entre ces deux points :
l'équation (1) donnera la vitesse du mobile en un point quelconque de cette route.
Formons le produit mvds de la quantité de mouvement par l'élément
^5 de la trajectoire réelle ou de la trajectoire fictive,
et considérons l'intégrale :
mvds.
prise entre le point A et le point B.
. Le théorème de la moindre action consiste en ce que cette intégrale est, en général ^ un minimum pour la trajectoire effective, c'est-à-dire qu'elle est moindre pour cette trajectoire que pour toute autre courbe ACB tracée entre les deux points A et B.
Le produit mvds est ce qu'on appelle la quantité d'action du mobile dans ' le parcours de l'élément ds ;
/ mvdè est la quantité d'action totale' correspondant au passage de A en B.
En vertu de la relation ds = vdt, on a :
I mvds = I mv^dtj
les deux intégrales étant prises entre les mêmes limites, et l'on voit par là que Vaction est aussi la somme des produits de la force vive par l'élément de temps.
Soient x, y, z les coordonnées du point mobile sur la trajectoire effective. Pour passer aux coordonnées du point sur une trajectoire fictive infiniment voisine, il suffira de remplacer x,y, z, par x -^$x,y-\'$yyZ-\'$z\ les points extrêmes restent fixes.
Voyons ce que devient, par ce changement, l'intégrale:
. V = I mvds,
prise sur la trajectoire entre les points A et B.
Si nous prenons la variation 5V de cette intégrale, il vient :
gV = 3 I mvds = I h {mvds) = / movds + 1 mvùds.
Or, la première intégrale nous donne, en remplaçant rf^ par vdl :
/ movds «= / mvhv dt ;
mais, mvh') est la variation de la force vive, et, par hypothèse, on a, pour tous les points de l'espace :
d'où :
mvlv = 5I 2*^ + ^ ^y + ^ 2-2: = XS^ + Yly + Zoz ;
par suite,
/ m Iv ds = f{XZœ + Yoy + Zhz) dé.
Pour transformer la seconde intégi'ale, observons que l'on a :
cl,s^ = dœ^ + dy^ + dz-, d'où :
dsùds = dœodœ + di/ody + dzodz; par conséquent,
^...::^ ^^^ -^ j dx ^ , , dt/ ^ j , dZs j
dt dt dt ^^ dt
On a donc :
8V =^fçSLZx + Yoy + Z8«)
dt
Or, l'intégration par parties nous donne :
/dx^, r dœ ,-. dx^ r d*œ^ ,.
(le même,
Par suite,
Mais, la quantité en dehors du signe f est nulle aux deux limites, puisque ces deux points sont fixes ; on a donc :
Or, pour la trajectoire cfiFoctivc on a, en. vertu (}os équations du mouvement,
Par conséquent , pour la trajectoire effective , on a 3V = quels que soient 8x, ôy, Sz,
La variation de Yintégrtxlo 1 m vds étant mille pour la trajectoire effective, il en résulte que cette intégrale est minimum pour cette trajectoire.
Il est, d'ailleurs, évident que la fonction V ne peut être un maximum, puisqu'il est toujours possible d allonger
le chemin fictif de telle manière que l'intégrale / mvds, prise le long de ce cliemin, croisse au delà de toute limite.
REîiLVRQUE. — Le théorème de la moindre action ne fait connaître aucune intégrale nouvelle du problème. C/est un complément du théorème des forces vives.
