V . ^ d l dy dx

Mais, si l'on désigne par Q la projection de la force P sur le plan des xy (fig. 8), et par q la distance de cette projection à l'origine 0, on a :

Qg = Yo? — Xy.

D'autre part, la quantité de mouvement étant

considérée comme une

Fig. 8.

sont rn -j^.m-^jj.m-^rrX

sionml^r

force , ses composantes

dm dy dz \

-77, w -jT» ^^ -jt dt ' dt dt

par conséquent, l'expres-

5^-^iy^lrfest y|nest

autre que le moment par rapport à l'origine de.

la quantité de mouvement du mouvement projeté sur le plan des xy, om le

moment par rapport à Taxe des z de la quantité

de mouvement du point m

, En désignant par u la vitesse du mouvement projeté, par p sa distance à Torigine, on a :

(dv dûo\

par conséquent,

d (mup) ^* dT''

ou bien :

d (mup) "» Qgdl.

On en tire, en intégrant, et désignant par m^, et p les valeurs de w et de p pour t = 0,

mup — mit^p^ ~ I Qqdt.

Mais, fQq dt est la somme des moments par rapport

& l'origine des impulsions élémentaires de la force projetée sur le plan des xy^ ou la somme des moments par rapport à l'axe des z des impulsions élémentaires de la force P. D'ailleurs, le plan des xy est quelconque. On a donc le théorème suivant ;

Théorème. — U accroissement total du moment de la quantité de mouvement projetée sur un plan par rapport à un point quelconque du plan de projection pendant un temps quelconque, est égal à la somme des moments par rapport à ce point des impulsions élémentaires de la force projetée pendant ce tempsi

24. On peut encore énoncer ce théorème de la manière suivante :

Théorème. — Vaccroissenient total du moment de la quantité de mouvement d^un point matériel par rapport à un aœe pendant un temps quelconque est égal à la somme des moinents par rapport à cet axe des impulsions élémentaires de la force pendant ce temps.

85. Remarque. — Si la direction de la force P rencontre constamment Taxe des z^ ou lui est parallèle, le moment do la force P par rapport à cet axe sera nul à chaque instant, et nous aurons :

Qg « Yâ? — Xy — ;

on a alors :

bu bien :

mup -= mujOo == const..

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Lorsque la direction de la force appliquée à un point mobile rencontre constamment une droite fixe ou lui est parallèle^ le moment de la quantité de mouvanent du point par rapport à cette droite est constant.

L'équation :

dy dx .

est une intégrale première des équations différentielles du mouvement.

Théorème des aires.