CHAPITRE V

Mouvement des projectiles dans le vide.

Fig. U.

54. Problème. — Un point matériel pesant est lancé suivant une direction donnée avec une vitesse donnée v^^ ; il se meut ensuite sous la seule action de la pesanteur supposée constante en grandeur et en direction. On demande de trouver le mouvement de ce point. (C'est le mouvement d'un projectile dans le vide.)

Prenons le point de départ pour origine de trois

axes rectangulaires, l'axe des z étant dirigé en sens contraire du sens dans lequel agit la pesanteur (fig. 11). Soit m la masse du point matériel ; la force constante qui agit sur le j mobile est égale à mg^ et dirigée dans le sens des z négatifs.

Les équations diflPérentielles du mouvement sont, en supprimant le facteur m :

dr- " ^' dt^ "~ ^ ' dt^ "~

on en tir^, en intégrant :

dx dif , dz ,, ,

^-0, ^^-==c'. '^.--c'-gt. (2)

Donc, le mouvement projeté sur les axes des x et des y est uniforme; sur Vaxe des z le nioitvemen projeté est uniformément retardé.

Si nous désignons par «, (3, y les angles que la direction de la vitesse initiale v^ fait avec les axes, les composantes de cette vitesse sont t\, cos «, t\ cos (3, i?o cos y. Or, si dans les équations (2) on fait ^ =* 0, il vient : , . .

(wi- m,-' {%-'-■

mais, d'autre part :

(SI =^0 «"'='' (^1),= ''»'°'^' fê),= ^««°^^'

par conséquent,

c == v^ cos a, c' = Vq cos P, c'' « Vq cos y,

et les équations (2) deviennent :

dx dy r, dz , ,,

^ — ^0 cos a, ^ == î?o cos 3, -^j « '^0 cos y — 5^/ ; (3)

d'où, en intégrant de nouveau :

0? = t?Q^ cos a, «/ = t'o^ cos p, >3 = t'o^ cos y — J 5^/^. (4)

Nous n'ajoutons pas de constantes, puisque l'on doit avoir a? «= 0, y = 0, ^ « 0, pour t^O.

Les équations (4) sont les intégrales finies des équations du mouvement (1) ; les équations (3) sont les intégrales premières.

Des deux premières équations (4) on tire :

cosg.

CCS a'

donc, la projection de la trajectoire sur le plan des ccy est une ligne droite, et^ par conséquent^ cette trajectoire est une courbe plane.

55. Rapportons donc la trajectoire à deux axes rectangulaires pris dans son plan, l'axe des y étant

Fig. 12.

dirigé en sens contraire du sens dans lequel agit la pesanteur (fig. 12). Les équations différentielles du mouvement sont :

d*œ dt^

= 0, -i# = — ûr;

dt^

on%en tire, en désignant par a l'angle que la direction de la vitesse initiale v^ fait avec l'horizontale :

dx dy . . ,r,.

œ = t\t CQS a, y == f o^sin a — ^gl^, (7)

On conclut de là que la projection horizontale de la vitesse du mobile à un instant quelconque est une quantité constante.

En éliminant t entre les équations (7) on trouve pour l'équation de la trajectoire :

y = a?tga ^

2t?o* COS* a

Donc, le 7nobile déant une parabole du second degré dont Vaxe est vertical^ et qui est tangente au point à la direction de la vitesse initiale, puisque, pour ^ === 0, on a :

Si Ton pose v^^ = 2gh, il vient pour l'équation de la trajectoire :