Étudions maintenant les propriétés du mouvement
Élevant au carré les équations (6), et ajoutant, on a :
t?2 = t?o* + g'^t^ — 2v^gt sin a, (9)
ou bien, . en éliminant û au moyen do la deuxième équation (7) :
^t^^t 2gy. (10)
. Cette formule détermine la vitesse en un point quelconque de la trajectoire.
Pour déterminer Xamplitude du tir, ou la portée du jet, faisons y = dans l'équation (8), il viendra :
® Ah cos- a d'où l'on tire :
œ^ =0, a?2 = OA = Ah sin a ces a = 2h sin 2a.
Il résulte de cette formule que Y amplitude est maximum pour une même vitesse initiale i\, lorsque l'on a a -= 45**, et il vient alors :
OA = 2h.
Propriété. — Pour des directioiis qui s'éca^Hent également de la direction de 45°, les amplitudes sont égales.
En effet, soient deux directions faisant des angles de part et d'autre de la direction de 45° ; nous aurons pour ces deux directions :
or,
sin 2 (45» i G) -= ces 20,
et, par suite, pour ces deux directions, on a :
OA = 2h cos 29.
57. Pour déterminer le sommet 0' de la parabole, c'est-à-dire le point correspondant à la plus grande hauteur à laquelle le mobile s'élèvera, nous aurons à chercher le maximum de y, c'est-à-dire le point pour
lequel on a ^ == 0. On a donc l'équation :
dœ^ ^ * )>h ces* a ** '
d'où l'on tire :
X = 2h sin a ces a = A sin 2a ;
donc, Yàbscisse du sommet est égale à la moitié de Vamplitude.
Pour déterminer la hauteur du jet ^ remplaçons œ par sa valeur dans l'équation (8), nous aurons :
y = h sin* a ;
cette hauteur est elle-même un 7}iaximu?n pour « = 90®, et l'on a alors :
Elle est, comme on voit, égale à la moitié de l'amplitude maximum du tir.
Si l'on rapporte la trajectoire à son sommet 0', en faisant dans l'équation (8) :
x = 2h sin a ces a -|- x',
y s= A sin* a — y\ ^
on trouvera pour Téquation de la trajectoire :
Le paramètre de la courbe est donc Ah cos^ «.
Il s'ensuit que, F étant le foyer, on a (flgr. 13):
O'F « h cos« a ;
si Ton prend :
O'G =» O'F = A cos2 a,
et si l'on mène par le point G une parallèle à l'axe des a?, on aura la directrice HG.
La distance de la directrice à l'axe des œ est donc :
OH = BG « O'B + O'G =- h.
58. Problème. — Connaissant la hauteur h due à la vitesse initiale t?^, et la direction de cette vitesse, construire la trajectoire.
Prenons sur Oy (flg. 14) une longueur OH = A;
par le point H menons une perpendiculaire HD à Vq, et par le point D une perpendiculaire DE ^ l'axe Oy. Prolongeons ED d'une longueur DO' « DE :
le point 0' sera le sommet de la parabole. On a,
Fig
tf
en effet,
OD = fe sia X,
ED =ODcosa=-= Asiaacosa;
donc,
EO' = 2h sin a cos a.
On obtient le foyer en prolongeant HD jusqu'à la rencontre avec la perpendicnlaire O'B à Taxe des x : en effet, on a :
DF = HD «= A cos a, 0'F*= DF cos ot «. À cos^ a.
Enfin, OA = 20B sera l'amplitude du tir.
59. Remarque I. — Si, dans la formule (10) qui donne la vitesse en un point quelconque de la trajectoire, on fait y = 0, on trouve pour la vitesse au point A :
Donc, le mobile repasse par Vhorizontale avec sa vitesse initiale.
Remarque II. — De cette même formule (10) on conclut encore que la vitesse sera minimum, lorsque y est maximum, c'est-à-dire au point 0'. Pour trouver cette vitesse minimum, il suffit de faire y = hsirr a dans la formule (10), et il vient :
v^ == v^Q — 2gh siû^ ol^Vq^ — Vq^ sin^ a -= Vq^ co -^ a,
V = VqCos a.
Donc, la vitesse au point 0', c'est-à-dire la vitesse minimum^ est égale à la projection horizontale de la vitesse initiale v^.
Propriété. — En deux points m et m' (flg. 12) également distants du sommet 0\ ou à des hauteurs égales au-dessus de Vf horizontale^ les vitesses sont égales.
Cela résulte évidemment de la formule (10).
60. Proposons-nous encore de trouver le temps employé par le mobile pour aller de en 0\ Il suffit pour cela de faire v = VQCosa, dans la formule (9), ce qui nous donne :
t\ * cos« aL=VQ^ + gH^ — 2vQgt sin a, ou bien :
t'o- sin* a + gH^ — 2Vq gt sin a = 0,
ou bien encore :
Vq sin a — gt = 0, d'où :
t\ sm g
61. Considérons maintenant des projectiles lancés dans un même plan vertical avec une même vitesse initiale dans des directioiis différentes à partir d^un même point 0.
Chacun de ces projectiles décrira une parabole : toutes ces paraboles seront situées dans un même plan
vertical, et elles seront représentées par l'équation (8) dans laquelle on fera varier l'angle a pour passer de l'une à l'autre.
Or, il résulte des formules précédentes (n'' 57) que la distance OH de la directrice à l'horizontale est indépendante de a. On en conclut que, pour foutes les inclinaisons j)ossibles, et pour une même vitesse initiale v^^ les trajectoires auront la même directrice.
D'ailleurs, le point étant un point de la courbe, on a :
OF = OH = h.
Par conséquent, les foyers de toutes les paraboles sont sur une même circonférence décrite du point comme centre avec OH = h pour rayon.
Proposons-nous de trouver le lieu des sommets . de toutes les paraboles correspondant aux différentes valeurs de cf..
Les coordonnées du sommet 0' d'une parai )ole sont données par les formules :
œ^ = 2h sin a ces a, y^ := h sin^ a.
Pour obtenir le lieu des sommets, nous devons éliminer a entre ces deux équations, ce qui nous donne l'équation :
Le lieu est donc une ellipse dont le centre est sur l'axe des y, au milieu de la hauteur OH = h due à la vitesse v^.
Proposons-nous encore de ù'vuver Venvéloppe dé toutes les paraboles représentées par Véquation (8) dans laquelle « sera considéré comme un paramètre
variable. H sufSt pour cela d'éliminer a entre cette
dtf
équation (8) et l'équation -p =- 0, qui nous donne :
X a ?' sin g ,
"" C0&* a 2A cos' a '
de cette dernière on tire :
d'où, en substituant dans (8), on trouve pour l'équation do l'enveloppe :
L'enveloppe est donc une parabole dont l'axe est dirigé suivant l'axe des y. Le sommet de cette parabole est au point H : en effet, en faisant x = 0, on trouve pour l'ordonnée du sommet y ^ h ^= OH. D'ailleurs, en faisant y = 0, on trouve a? = 2A = 2 OH pour l'intersection de la courbe avec l'horizontale ; par suite, le foyer est au point 0.
62. — Problème. — Trouver sous quel angle il faut lancer un projectile du point 0, pour qu'il atteigne un point donné.
Soient X, Y les coordonnées du point donné, a l'angle inconnu. Posons :
tg« = t.. d'Où -J^ = i + «..
L'équation (8) nous donne :
Y«=Xw -
d'où Ton tire :
w = Ç i ~ |/a« — 4AY— X«.
Il résulte de là que, si l'on a :
4¥ — 4hY — X« > 0,
on aura deux valeurs réelles de w, et ces deux valeurs sont positives, lorsque X est positif. Par conséquent, dans ce cas, le mobile pourra être lancé dans deux directions différentes pour atteindre le but. Si l'on a :
4/^2 — 4hY - X2 = 0,
il n'existe qu'une seule direction déterminée par la formule :
U =ig CL = — .
Enfin, le problème est impossible, lorsque l'on a :
4h^ - 4hY — X* < 0.
Or, si l'on considère la courbe représentée par l'équation :
4h^ — 4hy — a?* = 0,
ou bien :
cette courbe n'est autre que la parabole enveloppe trouvée précédemment. Les résultats que nous venons d'obtenir peuvent alors s'énoncer de la manière suivante : Quand le point que l'on veut atteindre est situé à l'intérieur de la parabole enveloppe, le mobile peut être lancé dans deux directions différentes ; si le point est sur cette parabole, il n'y a qu'une seule direction ; enfin, si le point est extérieur à la parabole, le problème est impossible. Cette parabole s'appelle parabole de sûreté.
Remarque. — Il est évident que, si l'on fait tourner le plan autour de l'axe Oy, la parabole enveloppe engendrera un paraboloïde de révolution, et cette surface jouira dans l'espace des mêmes propriétés que la parabole de sûreté dans le plan yOx.
Mouvement des projectiles dans l'air.
63. Problème. — Un point niatériel pesant est lancé dans un 7nilieu résistant avec une vitesse donnée. Trouver le mouvement de ce point.
Ce point décrit une trajectoire qui, en général, est comprise dans le plan vertical passant par la direction de la vitesse initiale. Les forces qui sollicitent le mobile à un instant quelconque sont la pesanteur et la résistance du milieu. Nous supposerons cette résistance proportionnelle au carré de la vitesse ;
elle sera dirigée suivant la tangente à la trajectoire, en sens contraire du mouvement (âg. 15). Nous la représenterons par Ar', en la rapportant à l'unité de masse, v étant la vitesse du point m à la fin
Fig. 16.
du temps t. Cette résistance se décompose en deux forces: une horizontale, dirigée vers les ^ négatifs, et une verticale dirigée dans le sens de la pesanteur, ou des y négatifs, quand le mobile montera, et en sens contraire quand le mobile descendra.
Si Ton désigne par a l'angle que la vitesse v fait avec l'axe des œ, les composantes de la résistance seront :
— kv^ ces a, — kv^ sin a, et les équations différentielles du mouvement seront :
= — kv^ cos a,
d'y df"
— g — Ài?2 sin a.
64. Pour simplifier les calculs, on peut, au lieu de prendre les composantes de l'accélération suivant deux axes rectangulaires 0^ et Oy, prendre ces
composantes suivant deux autres droites, savoir : Taxe des x et la normale à la trajectoire. Nous aurons ainsi deux équations du mouvement qui pourront remplacer les deux précédentes. Or, les composantes des forces sont :
F Suivant l'axe des œ : — kv^ cos « ;
2^ Suivant la normale, dirigée du point considéré vers le centre de courbure : flrcosa, puisque la composante de la résistance kv^ suivant la normale est nuUe. D'ailleurs, la composante de l'accélération
totale suivant la normale est — » p étant le rayon
P de courbure de la trajectoire.
Les équations du mouvement sont donc :
^r= — kv^ cos a, (1)
— r= ^ COS a. (2)
Si Ton observe que l'angle a diminue quand s augmente, nous aurons :
d'où :
ds =' '
- pda.
ds
rfa'
ini
t alors :
cosa =
V'dcf, ds
Les équations (1) et (3) sont les équations du mouvement.
65. L'équation (1) peut être mise sous la forme suivante, en remplaçant -^ par t? cos a :
rf (t? ces a) , ,
-i =« — AtJ* CCS a,
dt
d'où :
divay,.) uvdt =^ - kds ;
t?cosa
en intégrant, il vient :
Z .' t? ces a = — ks -{- c.
Pour déterminer la constante nous ferons ^ = 0, et nous aurons, en désignant par v^ la vitesse initiale et par 6 l'angle qu'elle fait avec l'axe des x :
i . t^oCOSG = c\
par suite,
Z . i? cos a == — fe + Z . Vq ces 6,
d'où :
, t?cosa ,
t?o CCS &
ou bien :
t? CCS a - **
Vq ces 6
et enfin :
cos a
Remplaçant v par sa valeur dans l'équation (3) on a :
Vq^ cos« - ?*« rfa
g COS a = — r e . -7- ,
^ cos* a cfs
d'où Ton tire :
— -^ e ds, (4)
ces' a t?(^* cos- Ô
Cette dernière équation ne renfermant que a et s, est celle de la trajectoire.
Si l'on pose :
tga«/î, l'équation (4) nous donne :
e^;^t/l+j>-^-- ,,./L.. g rf^» (5)
t^û'^ cos* 6
d'où, en intégrant,
Vis
On déteniiine la constante y en faisant « = o, d'où p = tgO, et il vient :
Y = tg0i/i + tg*y + ^.Oge + ^/l H-tg«e)+^-^£__.
Nous conserverons, pour plus de facilité, la constante y dans nos formules.
66. L'équation (6) nous donne s en fonction de ;p ; mais, pour construire la courbe, il est préférable de déterminer x et y en fonction de p.
Or, de la formule :
-— - 8» cos a, ds
on tire :
aœ ^= ds . cos a « ^ ,
d'où, en remplaçant rf^ par sa valeur (5) :
, Vç,^ cos* - ^^ j dœ ^ ^ e dpy
-ths
OU iMcn, en éliminant e au moyen de Téquation (6),
^^ — Z y TT^ . n (7)
kp[/i^p^ + l.{p ^l/l + p^)^y
et, en vertu de la formule :
dy =• pdx, on a aussi :
dy^l P^P (8)
Des équations (7) et (8) on tire, en • intégrant les seconds membres par approximation :
nous aurons donc œ et y pour chaque valeur de p^ ce qui nous donnera autant de points que l'on voudra de la trajectoire.
67. Proposons-nous de déterminer le temps employé par le 7nobile pour aller du point en un point m quelconque.
A cet effet, nous déterminerons t en fonction de p. Or, la formule :
g cos a = — ,
nous donne :
d'où :
dt^ == . 9)
Mais, de la formule (4) on tire :
d% Vq^ cos2 e
ds= --
COS^ a 2/w
et, par suite.
7*** cos* a
d'où, en extrayant la racine carrée des deux membres, et observant que dt et doL sont de signes contraires :
Vq cos 9 rfg i?o ces 6 , ge ge
Si l'on élimine l'exponentielle e au moyen de l'équation (6), il vient :
ac = ■;= . , ^ « (10)
K*fl' Jy—p\/i+p^—l.{p+l/T+p^
Cette formule dont le second membre peut être intégré par approximation nous donnera t en fonction de p.
