La vitesse au point m est donnée par la formule

^, dœ^ + dyy g l+p^

On obtiendra le sommet de la courbe en faisant p =» dans les expressions de œ et y. On obtient Vamplitude du tir, en faisant y = 0.

69. Propriété. — Il est facile de s'assurer que le point oit la vitesse est minimum est situé sur la branche descendante.

Pour le démontrer, reprenons la formule (n"" 65) :

v^ cos 9 -^

cos a

Pour le point où la vitesse est minimum, on doit avoir :

dt ^'

or, on a :

dv k ^ -^^ds . i?ocos0 . da-^

dt ces a ^ dt ' CCS* a dt

k f, ~^ î?oCOsO . ÛTCOSa -'^^

t?oCosee .y — ^'-^^ — s\ïi7,' e

CCS a " C0S2 a

en remplaçant -^ par sa valeur tirée de Téquation (9) :

dx g CCS Cf.

dt V

L'équation — = 0, nous donne donc :

— kv — — sin a = 0,

ou bien :

kV' + 5^ sin a = 0, d'où l'on tire :

p sin a = — kv^.

Donc , au point oit la vitesse est minimum , la composante tangentielle de la pesanteur est égale à la résistance kv^.

Ce point est sur la branche descendante ; car on a, pour ce point :

y gt — A« ^*

la valeur de tga étant négative, la propriété est démontrée.

70. Propriété. — La branche descendante de la trajectoire est indéfinie, et elle a une asymptote verticale.

Il est d'abord facile de voir que p augmente indéfiniment.

En effet, pour la branche descendante p est négatif : donc, en remplaçant p par — q, q étant positif, dans la formule (10), on a :

\/hg y/y + îI/i +^^-.z.(-g4-),/rT^

Or, le dénominateur du second membre de cette équation est composé de termes positifs. En effet, on a identiquement :

(l/TT? - q) (l/r+î^ + ?) = !,

d'où :

Par conséquent :

dt ^ ^

Le dénominateur ne peut donc être nul pour aucune valeur de q, c'est-à-dire pour aucune valeur de p. Donc, si p était limité, l'intégrale de l'équation (10) ne pourrait croître indéfiniment (puisque le dénominateur ne peut pas être nul, et que le numérateur a une valeur finie) ; par suite, le temps aurait une limite, ce qui est absurde. Donc, la tangente à la trajectoire tend indéfiniment à devenir verticale.

Remplaçons aussi p par — q dans les valeurs (7) et (8) de dx et de dy, et observons que, l orsque q sera très grand , on peut remplace r |/l + q^ par g, et négliger y et i ( — ? -^ {/\ + q') par rapport à q ; nous aurons alors :

d'où :

Or, quand q tend vers l'infini, x converge vers une valeur constante, et la valeur nég-ative de y croit indéfiniment ; ce qui démontre la propriété énoncée.

Observons cependant que la valeur trouvée pour x n'est pas précisément l'abscisse de l'asymptote, puisque

nous avons négligé certains termes. Pour obtenir cette abscisse, il faudrait intégrer la valeur complète de dx jusqu'à q =^ oo.

71. Propriété. — La vitesse converge vers une valeur constante. En effet, en remplaçant p par — q, dans la formule (11), et passant à la limite, on a :

Il en résulte que la vitesse tend indéfiniment vers la valeur qui rendrait la résistance kv'^ égale au poids du mobile, et le mouvement s'approche de plus en plus de Vuniformité,

72. Cas particulier. — Examinons le cas où l'angle 9 du tir est très petit ; dans ce cas, le point ne s'élève qu'à une très faible hauteur au-dessus de l'axe des œ, et la tangente étant très peu inclinée sur l'axe des œ, on pourra négliger p^ La formule :

dx 1

= CCS a =

ds l/l+p2

nous donne alors : .

ds = dx, d'où s = X,

L'équation (5) se réduit à la suivante :

^kx

Q ZftOC

d'où :

pour déterminer la constante, faisons a; « 0, p «* tg 6, et nous aurons :

^^^e^ + 2kv.i ces* h •

par suite,

En intégrant, il vient :

or, pour a; «= 0, on a : y == 0, et par conséquent.

4*2^^8 ces* e '

Nous aurons donc pour l'équation de la trajectoire

y - 0? (tg e + 2kv^^(^o^'^) ~ Wô^ôôFÔ V "" V

Enfin, l'équation (n"" 65) :

-ks

vcosa = Vq ces 9 e ,

noi» donne, dans le cas actuel,

dx A ""**

d'où :

dt = r. e dx^

Vq cos

et, en intégrant,

kvQ cos u \ /