CHAPITRE VI

Mouvement d'un point matériel sur une courbe fixe.

73. Problème. — Un point matériel de masse w^, sollicité par une force donnée P, est assujetti à se mouvoir sur une courbe fixe^ dont on néglige le frottement. Trouver le 7nouvement de ce point.

Soient :

les équations de la courbe. Nous pourrons rendre le point libre, et, par conséquent, appliquer les équations différentielles du mouvement d'un point libre (ïf^ 13), en joignant à la force motrice P, la réaction normale de la courbe.

Soient X, Y, Z les composantes de la force P, N la réaction normale de la courbe, située dans le plan normal, X, pi, u les angles qu'elle fait avec les axes, œ, y, z les coordonnées du point m à la fin du temps t.

Les équations diiFérentielles du mouvement sont :

m -^ = X + N ces X,

m^ = Y+Ncosp., (2)

m -^ --= Z + N cos u.

D'ailleurs, la réaction normale étant perpendiculaire à la direction de la vitesse, c'est-à-dire de la tangente, nous aurons :

cos \dx + cos it.dy + c^^tjdz = ; (3)

on a, en outre,

cos^ X + cos' [n + cos^ y = 1. (4)

Nous avons ainsi sept équations pour déterminer les sept inconnues x, y, z, l, ii, -u, ^ en fonction du temps t, c'est-à-dire la position du mobile à chaque instant, ainsi que la grandeur et la direction de la pression, laquelle est égale et directement opposée à la réaction normale. Mais, dans la plupart des cas, les calculs sont impraticables.

Avant d'exposer la marche ordinaire des opérations, nous allons étudier quelques propriétés communes à tous les mouvements sur U7ie courbe.

74. Multiplions les équations (2) respectivement par dx, dy, dz, et ajoutons ; nous aurons, en ayant égard à l'équation (3) :

dxd^x 4- d,yd-y + dzd-z , , , ^ , , , m -^ = ILdx + Ydy + Zdz,

ou bien :

mvdv = Xdœ + Ydy + Zdz,

En intégrant, il vient :

Imv^ = C + f{Xdx + Ydy + Zdz), (5)

équation que Ton peut écrire sous la forme suivante, en désignant par v^^ la vitesse initiale :

t l mv^ — ^ mv^^ — f(Xdx + Ydy + Zdz), (6)

i Ynv^ — i fii^i « f^ds CCS G »= fTds, (7)

B étant l'angle que la force motrice P fait avec la tangente à la courbe, et T la composante tangentielle (le cette force.

On a donc le théorème suivant :

Théorème. — La variation de force vive e7itre deux positions du mobile est égale au double du travail de la force motrice, ou de la composante tangentielle de cette force.

75. Propriétés. — L'équation (6) nous permet de déterminer la vitesse du mobile à un instant quelconque du mouvement. Elle nous apprend que cette vitesse est indépendante de la réaction normale, et ne dépend que de la force motrice.

De cette même équation (6) il résulte que la force vive est constante^ et, par suite, que la vitesse v est constante^ lorsque la force motrice est consùzmment nulle, au lorsqu'elle est constamment normale à la courbe. Car, dans ces deux cas, on a :

Xdœ + Ydy + Zdz « 0.

Donc, dans ces deux cas, le mouvement est uniforme.

L'équation (7) nous apprend que, chaque fois que le mobile passera par un point pour lequel 6 «= "90**, la vitesse sera un maximum ou un minimum. Car,* on- a, ixmr ces: positions : ' • : , ,.,

mvdv^O^

dVf^O.

76. S'il existe une fotwiion de force, b'est-âKlire si le trinôme Xdx + Ydy + Zdz est une différentielle exacte d'une fonction- de a?, y, z, considérées comme variables indépendantes, en d'autres termes, si l'on a :

Xdœ + Ydy -Y-'tdz = cî . © [x, y, z),

l'équation (5) nous donne :

mv^ = 2(p [x, y, z) + C,

ou bien :

mt?2 — mi?o^ « 2ç (X, y, z) — 2-f [x^, y^, z^).

On voit que, dans ce cas, la vitesse s'obtient sans faire usage des équations de la courbe : elle est exprimée en fonction de ^, y, z, x^, y^, z^, c'est-à-dire en fonction des coordonnées du point d'arrivée et du point de départ. Elle reprendra la même valeur toutes les fois que le mobile reviendra au mémo point, ou toutes les fois que le mobile atteindra la surface :

(p (a?, y, z) » consty

surface que l'on appelle surface de niveau. C'est le principe de la conservation des forces vives.