Revenons maintenant à la solution du problème général

Les équations (1) permettent de déterminer deux des variables œ, y, z en fonction de la troisième. Il suffira donc de trouver une relation entre l'une de ces variables et le temps t. Or, dans la plupart des cas, cette relation sera donnée par le principe des forces vives. C'est ce qui arrivera lorsqu'il existe une fonction de force. L'intégrale des forces vives nous donne alors :

mv^ = 2<p (œ, y, z) + C,

C étant une constante qui est déterminée par les circonstances initiales du mouvement.

En résolvant les équations (1) par rapport k œ, y, il vient :

^ == /l (^'U y = fo (z) ; on a alors :

dx^ + dy^ + dz^ dz^. -j- /•'2 . / r„

Par suite,

d'où l'on tire :

De cette équation on déduira t en fonction de z^ et, par suite, z en fonction de t. L'intégration de cette équation introduira une nouvelle constante, que l'on détermine en faisant t = 0, z •'^ z^. Connaissant z en fonction de t, on déterminera facilement œ et y en fonction de t.

78. Pression normale. — Lorsque le mouvement sera connu, on déterminera facilement la pression normale.

Soient m la position du mobile sur la courbe fixe SS'

(fig. 16), mT la direction *^' ^'^* de la vitesse v, P la force

appliquée au mobile, mN la réaction normale.

Sous l'action de la force P et de la force niN le point m peut être considéré comme libre ; par conséquent, la somme des projections de ces forces sur la tangente est égale

à m -T- , et la somme des projections sur la normale principale est égale a .

Décomposons la force P en deux composanlos, l'une mk = P cos 6, dirigée suivant la tangente, l'autre mB dirigée suivant la normale à la courbe dans le plan TmP de la force et de la tangente.

Cela posé, au lieu des forces P et N, nous pourrons considérer les forces 7wA, mB et wiN ; donc, la somme des projections de ces trois forces sur la tangente est

égale à rii--r-y et la somme des projections sur la

normale principale égale à . Or, les projections

de wiB et de la réaction mN sur la tangente étant nultes, il en résulte que la fbrcé mk ^=^ P cos 6 est la force qu'il faudrait communiquer suivant la tangente* au point m libres pour lui donner le moiïvemient qu'il I>ossède. On a donc :

P cosfl «= m -jj.

D'autre part, si nous menons la normale principale mKk la courbe, et si nous prenons sur cette droite une

TTtV

longueur w^K -*• , dirigée vers le centre de courbure,

cette force — -sera la force qu'il faudrait appliquer au

point m libre, suivant la normale principale, pour lui communiquer son mouvement effectif. Il en résulte donc que la réaction normale mN doit être telle que, composée avec mB, elle donne pour résultante mK. Par conséquent, — mN sera la résultante de mB

et de .

Donc, la pression normale est la résultante de la composante normale de la force motrice, et d'une

97tV

force , dirigée suivant le prolongement du rayon

P de courbure. Cette seconde force s'appelle force

ceniïïnfuge,

79. Remarque. — On peut d'ailleurs parvenir au même résultat de la manière suivante :

Dés équations (2) on tire :

— N CCS X — X — m --nr >

av'

— N ces |x = Y — m -T^ ,

N ces u == Z — m

di^'

On en conclut que la pression — N est la résultante de la force motrice P, et de la force d'inertie — F, Projetons ces deux forces sur la tangente à la trajectoire et sur le plan normal. Nous aurons pour la somme des projections de P et — F sur la tangente, l'expression

dx dy . r.dz id^œ dœ , d^y dy , d'z dz\

ds"^ ds'^ ds \dt^ ds "*" di^ ds "*" dt^ ds)'

dv Or, cette expression, qui n'est autre que T ^^ m -r-,

est nulle, en vertu des équations du mouvement (n^ 74).

Donc, les composantes Siuivant la tangente de la force motrice et de la force d^inertie sont égales et de signes contraires.

Par conséquent, — N sera la résultante des composantes de la force motrice et de la force d'inertie sur

le plan normal, et, si Ton désigne ces deux composantes

par Nj et Ng, il vient :

N2 « Ni^ + Ng^ + 2Ni N2 CCS cp,

<p étant l'angle compris entre Nj et N^.

On peut obtenir l'expression de la force N^ de la manière suivante :

On a évidemment :

d^x d(î?cosa) dv , rfcosa

"Jl? — '17 = ces a -jT + t? Ti — 'y

dt^ dt dt ' dt

par suite,

d^co dv dœ , ^ d ces «

dt^ dt\ds ds

Or, si l'on désigne par le rayon de courbure, et par ^2» 1^21 ^2 i^ angles qu'il fait avec les axes, on a :

rf cos a 1 .

— —— =. - ces /. ;

as p ^

par conséquent,

On a donc :

— Nco8X«=X— T-j ces h.

ds p

dx Mais, X — T -j- est évidemment la composante

de Ni sur l'axe des x: en effet, la force P est la

résultante de Nj et de T, et, par suite, Nj est la résultante de P et de — T ; donc, en désignant par \, f*n ^1 l^s angles de Nj avec les axes, on a :

X — T^-=NiCOS>i.

D'ailleurs, Nj est l'intersection avec le plan normal du plan mené par la tangente et la force motrice, et, par conséquent,

Ni = Psine.

On a donc :

N CCS A = Ni CCS Al CCS A^j

XT XT *^^

N COS p «= Nj CCS |ULi CCS y^,

XT XT ^^^

N cos u = Ni CCS Ui ces y.^ •

On conclut de là que la pression normale est

la résultante de la force N, et de la force N, «* ,

c'est-à-dire de la composante de la force P dans

le plan normal, et d'une force dirigée suivant

P le prolongement du rayon de courbure.

Mouvement d'un point matériel sur une surface fixe.

80. Problème. — Un point matériel de masse m, sollicité par une force donnée P, est assujetti à se mouvoir sur une surface fixe^ dont on néglige le frottement. Trouver le mouvement de ce point.

Soit :

réquation de la surface. Nous pourrons rendre le point libre, et, par conséquent, appliquer les équations différentielles du mouvement d'un point libre, en joignant à la force motrice P la réaction nprmaje.de la surface.

Soient X, Y, Z les composantes de la force P, N la réaction normale dirigée suivant la normale à la surface, i, p, u les angles que cette normale fait avec les axes, X, y, z les coordonnées du point m à la fin du temps t.

Les équations différentielles du mouyeinent sox^t :

m -jrj^ «=» X + N cos.i,

;n^ = Y + Ncosp., (2)

m -^ = Z + N CCS u.

On a d'ailleurs .

dF dF ,, dF

COS X == V 3- , COS a = V 3- , cos u = V 3-

et les équations du mouvement sont alors :

d^œ ^ , „^, dF

'"rff^Y+NVg^. (3)

d^z „ . -„, dF

Les équations (1) et (3), jointes aux conditions initiales, serviront à déterminer les inçoftnues a?, y, z, N en fonction du temps.

Observons que le radical

doit être afTecté du double signe i-, ce double signe se rapportant aux deux directions opposées suivant lesquelles la réaction peut agir, l'une extérieure, l'autre intérieure.

Nous pouvons convenir de donner au radical le signe + ; alors la réaction inconnue sera ± N, c'est-à-dire que nous donnerons un signe à N. Ze calcul fera connaître N non seulement en grandeur^ nuiis en sens : si elle est positive, elle correspondra à la partie de la normale définie par le signe + du radical ; si elle est négative, elle correspondra à la partie opposée de cette normale.

81. Nous commencerons par l'étude de quelques propriétés communes à tous les mouvements sur une surface.

Multiplions les équations (3) respectivement par dx, dy,'dz, et ajoutons; nous aurons :

dœ d^x + dy d^y + dz d^z .., , __. , , m -^ ^ ^ = Xdx + Ydy + ^dz, (4)

le coefficient de N étant nul, en vertu de la relation :

^dx+^dy+^dz = 0.

Cette équation (4) nous donne :

mvdv = Xdœ + Ydy -f- ^dz, d'où, en intégrant,

1 mv^ « C + f{Xdx + Ydy + Zdz), (5)

ou bien, en désignant par v^ la vitesse initiale :

^mv^ — ^mv^^ = fiXdx + Ydy + Zdz)

= f^ds ces 9 = fTds. (G)

Cette dernière équation nous donne le théorème suivant :

Théorème. — La variation de force vive entre deux positions du mobile est égale au double du travail de la force motrice.

L'équation (6) permet de déterminer la vitesse à un instant quelconque du mouvement. Elle nous apprend que cette vitesse est indépendante de la réaction normale, et ne dépend que de la force motrice,