S'il existe une fonction de fo7xe, on a

^dx + Xdy -\- Zdz « rf . (p {œ, y, z), et l'équation (5) nous donne :

mv^ = 2:p (a?, y, z) + C, . (7)

ou bien :

mx.^ — mv^^ « 2(p [œ, y, z) — 2(p [œ^, y,,, z^).

Nous pourrons alors considérer les surfaces de niveau, comme dans le cas d'un point libre. Nous trouverons que ces surfaces jouent, dans le cas d'un point assujetti à demeurer sur une surface, le même rôle que si le point était libre, et sollicité par la même force P.

83. Cas particuliers. — F Considérons le cas où la force motrice est constamment nulle, c'est-à-dire où le point matériel se meut sur une surface fixe en vertu d'une vitesse initiale.

Dans ce cas, l'équation (5) nous apprend que la vitesse V est constante.

Les équations du mouvement sont alors :

a ûc __ «, m -^— = N ces l,

d^y m -^ = IN CCS p.,

d^z m -jr.- = N ces V.

dl^

On en tire :

d^œ rf«y d^z

cosX COS/X COSU

Par conséquent, la normale à la surface coïncide en direction avec la normale principale à la trajectoire. Il en résulte que la trajectoire est une ligyie géodésique de la surface. C'est la ligne la plus coui'te que Ton puisse mener sur la surface entre deux quelconques de ses points (I, n"* 374).

Ainsi, quand un point matériel^ assujetti à demeurer sur une surface , se meut sur cette surface sans être soumis à Faction d'aucune force, il parcourt uniformément une ligne géodésique de la surface.

2** Il est facile de voir que le mouvement est encore uniforme, dans le cas où la force motrice est constamment normale à la surface : car, on a aussi dans ce cas :

Xrfo? + Ydy + Zdz = 0,

et, par conséquent, la vitesse est constante.