Revenons maintenant à la solution du problème général

En éliminant N entre les équations (3), on obtiendra deux équations qui, jointes à l'équation (1), déterminent X, y, z en fonction de t. Pour obtenir la trajectoire, il suffira d'éliminer t entre les deux équations résultant de l'élimination de N : on obtient ainsi une équation en X, y, z qui, jointe à l'équation (1), détermine la trajectoire.

Ces calculs, en général impraticables, se simplifient dans le cas où il existe une fonction de force , c'est-à-dire quand l'intégrale des forces vives existe.

En effet, on a alors :

mv^ « 2ç (œ, y, ;;:) + C ; (7)

d'autre part, des équations (3) on tire, en multipliant la première par rfy, la deuxième par dx, ot retrancliant :

(^^-^^^)=Y^^-^^^+Nv(|^-g^4 <^

Or, on a identiquement :

dy

dy dt^

dx dx^

d'où :

dxd^dyd^ rf^, d^x

, dy dt dt^ dt dV- ,, dh- W

dy

dx idxV (dxy

[dtl \dt)

par conséquent,

d^y , d^x , /dx\* ,dy , /dx\^ .du

En substituant dans l'équation (8), il vient :

En combinant de la même manière les deux dernières équations (3), on a :

En éliminant N entre les équations (9) et (10), on obtient une équation qui ne renferme plus que les coordonnées œ, y» ^^ ^t ^^ force vive mv^. Or, si l'on élimine la force vive au moyen de l'équation (7), on obtiendra une équation différentielle qui ne renferme que les coordonnées ^r, y, ^, et qui, jointe à l'équation (1), déterminera la trajectoire.

Cette métiiode de calcul est due à Lagrange.

Remarque. — Dans le cas particulier où la force motrice est constamment nulle, la vitesse v est constante, et l'élimination de mv^ et de N se fait en divisant membre à membre les équations (9) et (10). On a ainsi :

oy ox ^

dz 'dy

dz

dy

85. Pression normale. — Soient m la position du mobile à la fin du temps t (flg. 17), SS' la trajectoire inconnue, ?nT la tangente à la trajectoire suivant

Fig. 17.

la direction du mouvement. Décomposons la force P en deux composantes, l'une mA suivant la tangente à la trajectoire, l'autre mB perpendiculaire à la tangente dans le plan TmV de la force et de la tangente.

Soit 77iN la réaction inconnue de la surface, dirigée suivant la normale à cette surface. Il est évident que la résultante de niB et de mlH doit être une force centripète mK dirigée suivant la normale principale

à la trajectoire, et égale à , p étant le rayon de

courbure de cette trajectoire.

Donc, la pression normale — N est la résultante de la composante de la force P suivant la normale à la

trajectoire, et de la force centrifuge mK' = —

Mais, dans le cas actuel, cette construction n'offre pas les mêmes avantages que dans le mouvement sur une courbe (n"* 78).

86. Remarque. — On peut obtenir la pression normale de la manière suivante :

Multiplions les équations (2) respectivement par cosA, cosfji, cosu, et ajoutons, il viendra:

— N = (X ces X + Y ces |ji -1- Z ces u)

id'^x . , dhj , d^z \

Comme on le voit, cette pression se compose de deux parties, la première :

X ces / + Y ces |ut + Z ces -j,

est la projection de la force motrice P sur la normale à la surface : nous la désignerons par P' ; la seconde partie est la composante de la force d'inertie suivant la normale à la surface.

Fig. 18.

Cela posé, soit SS' la trajectoire du point matériel sur la surface ; imaginons par la normale une section

normale AB (fig. 18) ayant la même tangente mT que la trajectoire.

Soit p' le rayon de courbure de cette section normale : il sera dirigé suivant la normale à la surface. Les angles que ce rayon de courbure fait avec les axes sont donnés par les formules :

^ t 1 Cl/ iJb

cos^=±p'^.

COS. = ip'^^.

Or, on a :

d'où :

dx dx ds

dû ds dt'

dt^

d^x dS' dx d^s .

ds^ dt^ "^ ds dt^"

par suite,

, (d^x , , d^y , d^z \ds

, idœ ^ y dy , dz \d^s

-Or, la seconde partie du second membre est nulle, à cause de la relation :

co^ldx + ces i^dy + ces y dz = 0.

On a donc :

^, ^, ds^ id^x ^ , dHi , dH \

^ = F,n^^^cosX + ^cosfx + ^^,cosu],

ou bien :

Donc, la pression normale se compose de la pression P' due à la force motrice^ augmentée ou diminuée d'une autre pression qui ne dépend que de la vitesse et de la courbure de la surface dans le sens du mouvement. Cette seconde pression est une véritable force centrifuge engendrée par le mouvement sur la surface. C'est cette force centrifuge qui distingue la pression dynamique de la pression statique.

87. On peut d'ailleurs donner à l'expression de cette seconde force une autre forme. En effet, si l'on désigne par p le rayon de courbure de la trajectoire SS' décrite par le point matériel, rayon de courbure que l'on pourra déterminer quand on connaîtra la trajectoire, par l'angle que fait le plan osculateur de cette courbe au point X, y, z, avec la normale à la surface (ou l'angle du rayon de courbure de la trajectoire avec la normale à hi surface), nous aurons, par le théorème de Meunier :

p = p' ces 9 ;

par conséquent.

N = P' T — ces e.

Donc, la pression sur la surface se compose de la pression due à la force motrice (projection de P sur

la normale à la surface), augmentée ou diminuée de la

mv^ force centrifuge qui résulte du mouvement du point

sur sa trajectoire, midtipliée par le cosinus de Vangle du plan osculateur de la trajectoire avec la normale à la surface.

88. Remarque. — Ce résultat est d'ailleurs évident, si l'on observe que les circonstances du mouvement seront les mêmes, si l'on supprime la surface, et si l'on assujettit le point à demeurer sur la courbe décrite.

Or, le mouvement sur la courbe donne lieu à une force

m'ïy centrifuge , dirigée suivant le rayon de courbure

de la trajectoire. Si l'on décompose cette force en

'inv deux : l'une normale à la surface cos 9, l'autre

mv"^

tangentielle sin 9, la première seule déterminera

sur la. surface une pression qu'il faudra ajouter à la pression résultant de la force motrice.