La composante sin donne lieu à une

remarque importante : elle est située dans un plan passant par la normale à la surface et par le rayon de courbure de la trajectoire ; de plus, elle est perpendiculaire à la normale à la surface. Elle est donc dans le plan tangent, et perpendiculaire ^ la tangente en m k la trajectoire. Il résulte de là que les trois droites : la normale à la surface, la tangente à la trajectoire, et la direction de la seconde composante forment trois droites rectangulaires. Or, nous pouvons décomposer la force P en trois forces dirigées suivant ces trois droites, savoir :

1** une composante T suivant la tangente à la trajectoire : c'est cette composante qui produit le mouvement du point m suivant la tangente à la trajectoire ;

2*" une composante P' suivant la normale à la surface : c'est cette composante qui entre dans l'expression de la pression normale à la surface ;

3** une composante Q suivant la perpendiculaire aux deux précédentes.

Or, la composante T produit le mouvement sur la

trajectoire ; les composantes P' et — — cos produisent

la pression sur la surface. Les deux composantes

Q et sin ne produisent ni mouvement, ni pression ;

P elles doivent donc être égales, et nous aurons :

Q = sm 9.

Or, la composante Q est nulle :

r lorsque le point matériel n'est sollicité par aucune force ;

2** lorsque la force motrice P est normale à la surface ;

3** lorsque la force motrice est dirigée suivant la tangente à la trajectoire : c'est ce qui arrive lorsque la force motrice provient du frottement, ou de la résistance de l'air ;

4"* lorsque la force motrice est la résultante de T et de P' seulement, c'est-à-dire lorsqu'elle se compose d'une pression et d'une force tangentielle.

Dans tous ces cas, on a :

sm = ;

d'où :

sin 9 =» 0, ou bien 6 =« 0.

Donc, dans tous ces cas, la ti^ajectoire est telle que l'angle du plan osculateur avec la normale à la surface est nul, c'est>-à-dire que le plan osculateur est normal à la surface. La trajectoire est donc une ligne géodésique.