CHAPITRE VIL
Mouvement d'un point matériel pesant sur un cercle vertical.
90. Problème. — Trouver le mouve^nent d'un point matériel pesant assujetti à demeurer sur un cercle r>ertical de rayon a.
Prenons l'axe des x dans le plan du cercle,
et tangent au point le plus *^* ' bas, Taxe des z vertical et
2 dirigé en sens inverse de la
^ pesanteur.
L'équation du cercle est :
œ^ + z^ — 2az = 0.
L'équation des forces vives nous donne (n** 49) :
(v^ — Vq^) = — 2 fmgdz = — 2mg 1 dz ;
d'où, en désignant par h la hauteur initiale NB (flg. 19) :
Or, on a :
^ "" rf/2 "" dt^ 2az — z^ dP '
par conséquent,
On tire de là :
adz
dt
]/{2az — z'') (v,^ + 2gh — 2gz)
On prendra le signe — dans le second membre lorsque le mobile descendra, puisqu'alors z diminue quand t augmente, et, par conséquent, dz et dt sont de signes contraires ; on prendra le signe 4- lorsque le mobile montera.
Cette équation (2) est Yéquation différe^itielle du mouvement.
91. Avant de nous occuper de cette équation, reprenons la formule (1) :
t?2 = v,^ + 2gh — 2gz,
qui donne la vitesse à un instant quelconque du mouvement.
On en conclut que la vitesse est maximum pour z ^ Qy c'est-à-dire au point le plus bas. On a alors :
t?2 ^ ^% ^ 2gh.
La vitesse est nulle, lorsque Ton a :
Vo^ + 2gh - 2gz « 0,
d'où l'on tire :
pourvu que Ton ait :
puisque l'ordonnée z ne peut pas être plus grande que le diamètre du cercle. Dans ce cas, le mobile, parvenu à cette hauteur, redescendra ; sa vitesse deviendra nulle de l'autre côté pour la même valeur de z, et le mouvement oscillatoire se continuera indéfiniment. Si, au contraire, on a :
la vitesse deviendra minimum au point le plus élevé du cercle, mais elle n'y sera pas nulle, et le mouvement révolutif aura lieu constamment dans le même sens. Les deux mouvements précédents sont périodiques. Enfin, si l'on a :
la vitesse serait nulle au point le plus élevé du cercle, et le mobile y serait en équilibre, s'il pouvait y parvenir. Ce mouvemenl est appelé apériodique. Mais nous allons voir que le mobile tend vers cette position limite, sans jamais pouvoir l'atteindre.
92. Examinons donc ce cas particulier, le seul où réquation (2) puisse être intégrée sous forme finie. Nous aurons alors, en introduisant cette condition dans l'équation (2) :
, . __ adz adz
[/ 2az — z^l/4ag — 2g z [/2g \2a — z\ \/z
Pour intégrer cette expression, observons que^ — -7=
est la différentielle de j/z ; d'autre part , on iieut décomposer la fraction 5 ^ de la manière suivante :
^2a \|/2a 4- \/ z l/2a — \/zl
Nous aurons donc, pour le mouvement descendant :
^dz dz
dt
d'où, en intégrant,
Pour déterminer la constante, faisons f = 0, ce qui nous donne z = A, et nous aurons :
\^la, \/2a + \/h .
on a donc :
Lorsque le mobile arrive au point le plus bas, on a ^= ; par suite :
Cest le temps employé par le mobile pour aller
(lu point k au point B.
dz A partir de cet instant, -^ devient positif; il faudra
changer le signe du premier terme de la valeur de t, et nous aurons pour le mouvement ascendant :
A mesure que t augmente, z augmente ; mais, il est toujours plus petit que 2a. En effet, pour ^ = 2a, il vient t «= oo. Le mobile n'arrive donc jamais au point le plus élevé du cercle^ mais il s'en approche indéfinhnent.
93. Considérons maintenant le cas où le mobile oscille de part et d'autre du point le plus bas, et posons :
nous aurons alors, pour le mouvement descendant
,. adz
dt = —
|/ 2az — ^2 j/ 2gk — 2gz
a dz
{/ 2g \ 2az - z^ \/k — z'
ou bien :
Comme ^ est moindre que l'unité, on peut développer le binôme (1 — ^ j en une série convergente :
. 1.3.5 ..(2n — r, IJ__Y "^ 2.4.Q...2n \2a) "^ '"
Nous aurons donc à intégrer des expressions de la forme :
/ z^dz l/kz — z^'
Or, on a :
z'^dz z'^-^l/kz — z^ . {2n — l)k p z'^-^dz
/ z" az z" 'y HZ — z" [zn — i) k r
/kz—z^
Proposons-nous de déterminer le temps t que le mobile met à arriver au point le plus bas. A cet effet, observims que la vit esse au point le plus bas étant égale à 1/ i\^ + 2g h, il résulte de la formule :
î^o' + ^gh = 2gk,
(|ue cette vitesse est y 2gk ; ce sera donc la vitesse due à la hauteur k.
Donc, pour obtenir le temps que le mobile met à arriver au point le plus bas, nous devons intégrer entre les limites A et 0; ce temps sera évidemment le même que celui que le mobile mettrait à remonter à la hauteur A, puisque, pour la branche montante, nous devons intégrer la même expression, prise on signe contraire, entre les limites et A.
On a d'ailleurs :
z'^dz i2n — l)k r ^" " klz
\/kz — ;52 2n J
y/kz — ;52 2n J ^ kz^ z^
Si Ton pose, en général.
z'^dz
/ z'^ az \/ kz — Z' ~~
il vient :
Or, comme on a :
