CHAPITRE VIII
Mouvement du pendule simple dans le vide.
Fig. 21.
95. Problème. — Un point matériel 'pesant est suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible et sans masse. Vautre extréynité C du fd est fixe. Ce point se meut libre^nent dans le vide, sans sortir du plan vertical passant par sa position d'équilibre CB. Trouver les lois du mouvemeiit.
Soient A la position initiale du mobile (fig. 21), a l'angle que fait le fil avec la verticale dans cette position initiale, v^ la vitesse initiale, ? l'angle que fait le fil avec la verticale à la fin du temps t, v la vitesse à cet instant.
Nous décomposerons Taction de la pesanteur au point m en deux forces : une force normale mg cos 9 qui est
détruite par la résistance du fil, et une force tangentielle
mg sin (f .
?L*équation du mouverment est donc :
dv m -TT = mg sm (p,
ou bien :
dv
Soit Am = s l'arc décrit par le mobile à la fin du temps t; nous aurons, en désignant par r la longueur du fil :
ds d<p
dt dt
et, par suite,
dv rf*9
dt di^
L'équation du mouvement est donc :
r^^ — gsm(f. ' (I)
Multipliant les deux membres par 2d(f, et intégrant, il vient :
r (^)' = C+2g ces (p. (2)
Pour déterminer la constante, faisons / = 0, d'où o == a ; d'ailleurs, la vitesse initiale étant t\, nous aurons :
par conséquent.
G + 25rcosa«=-^
L'équation (2) devient alors :
d'où l'on tire :
dt^T^=M=- (3)
y ^\'^ + '^9^ (cos 9 — ces a)
On prendra le signe — , lorsque le point m se meut dans le sens ABA', puisque (p diminue quand t augmente : nous considérerons l'angle 9 comme négatif, quand le rayon Cm passe de l'autre côté de la verticale CB. On prendra le signe +, quand le point m se meut en sens contraire.
