L'équation (3) est intégrablc, lorsque l'on a
«?o^ = 2gr (1 + CCS a),
c'est-à-dire lorsque la vitesse initiale v^ est celle que le mobile acquiert en descendant du point le plus haut du cercle décrit avec r comme rayon.
~ 131 On a alors :
Si nous considérons seulement le mouvement dans le sens ABA', nous aurons :
cU •/' ^^
2cos^(p
cFoù, en intégrant,
'-«+VI'-'«(f-i)-
Pour déterminer la constante, faisons ^ — 0, d'où ç = a, et il vient :
nous aurons donc :
C'est la formule qui donne le temps employé par le mobile pour décrire Varc km^ en supposant qu'il parte sans vitesse initiale de l'extrémité B' du diamètre BCB'.
Si, dans cette formule (4), on fait ç = 0, il vient
sTi'-^-i)
C'est le temps employé par le mobile pour décrire Varc AB.
Pour avoir la durée de Voscillation entière^ faisons f »= — a dans la formule (4), et il viendra, en désignant ce temps par T :
Donc, le temps que le mobile emploie pour aller de A en A\ est double du temps employé pour aller de A en B.
Pour avoir le temps que le mobile mettrait pour revenir en B', extrémité supérieure du diamètre BCB', il faudrait faire cp = — tt dans la formule (4), ce qui nous donne :
^ = \/~ l. = oo.
Il faudrait donc un temps infini au mobile pour remonter jusqu'au point B' (n"" 92).
Cas des petites oscillations.
97. Supposons que le pendule effectue de très petites oscillations autour de la verticale^ et supposons, en outre, que la vitesse initiale au point A soit nulle.
E'équation (3) nous donne alors:
^l^^ ^^9 ^/r rfcp
— ces a). V 9
[/2gr (coscp — ces a). V 9 J/2(cos<p — cosa)
Or, puisque « et <p sont supposés très petits, nous pourrons poser :
cos (p =« 1 — "l" , ces a = 1 — — ,
et nous aurons :
dt
\ g 1/ a« — et*'
d'où,, en intégrant.
^'«r: t/^ arc cos - + consi.
Mais, pour ^ = 0, on a <p = a ; par conséquent, la constante est nulle, et il vient :
/ = V/— arc cos - • (5
Cette formule donne le temps employé par le mobile pour décrire Varc Am« On en tire :
(p « a cos ^ KJ^ » (6)
équation qui détermine la position du mobile à la fin du temps t.
Pour trouver la durée d'une demi oscillation^ il faut faire (p = dans la formule (5), et il viendra :
îVf
Pour avoir la durée de Voscillaiion entière^ on fait (p s — a, et l'on a :
on voit que T dépend de r seulement : il est indépendant de a. Par conséquent, la durée de Voscillation entière est indépendante de son amplitude^ pourvu que celle-ci soit très petite. Ce temps est double de celui qui co9Tespond à la deini oscillation.
Les oscillations sont dites isochrones.
98. La formule (7) permet de donner une autre forme à l'équation (0). En effet, de cette formule (7) on tire :
par conséquent, on a :
t:1 9 -= a ces - .
On en tire :
De ces deux dernières formules on conclut :
1° que ? ^t "5* restent les mêmes lorsque t augmente
de 2T, c'est-à-dire que la position du mobile et sa
vitesse redeviennent les mêmes après la durée d'une
double oscillation.
d(p 2"" que, si t augmente de T, 9 et -^ changent
de signe en conservant leurs valeurs absolues. Ainsi; à des intervalles de temps qui diffèrent d'une oscillalion^ le pendule fait des angles égaux avec la verticale^ mais de côtés différents, et ses vitesses y dans ces positions , sont égales et de signes contraires.
Mouvement du pendule simple dans un milieu résistant.
Fig.22.
99. Proposons-nous d'étudier te mouvement du pendule simple dans Vair,
Au point m (^.. 22) les. forces qui. agisB^il sur
le mobile sont llaction de la pei^uiteur et là résistanee de l!air. Cette ■. demièce a^t .en^ sens .
contraire du mouyement : nous, la désignerons par. R. En. déeûxnr posant l'action de la pesanteur au point m, nous obtiendrons une composaotenormalen^câs (p.
qui est détroite: par la résistance du.âl, et une fûixse^tang!»[itieUe
L'équation du mouvement est donc :
dv . ,
m-jT = m^ sm cp — R.
Comme il s'agit de petites vitesses, nous supposerons la résistance R proportionnelle à la vitesse, et nous poserons :
L'équation du mouvement devient alors :
ou. bien :
d?$ a ds
Or, on a
s v=s^r(cf. — ç),
d'où:
ds d^ rf^ __ rf»<p .
dt ^ '^ dt' dt^~ ^ dP '
l'équation du mouvement est donc :
dP^ k dt ^r^^'^ ^•
Or, si nous supposons les oscillations très petites, l'angle 9 sera \xè&. petit et nous pourrons remplacer sin? par 9; nous aurons alors l'équation du second ordre :
d^ ,gd(f ,9^ç.
dt^ ^ k dL
L'équation caractéristique est :
d'où l'on tire :
Or, ces deux racines sont imaginaires : en effet, il est facile de s'assurer que, si les racines de l'équation (2) étaient réelles et inégales, ou bien réelles et égales, o ne pourrait jamais devenir nul, et le pendule ne reviendrait pas à la position verticale, ce qui n'est pas.
100. Supposons d'abord les 7'acines réelles et inégales : elles seront négatives, car on a :
Nous les désignerons par — (B' et — (S", et nous supposerons (3' > (i" en valeur absolue. Nous aurons alors pour la solution générale de l'équation (1) :
