cr^Vc'i-.P

d'où :

d^ C^-e- ^'* - Cf'e- ^'\

Pour déterminer les constantes, nous remarquerons que, pour / = 0, on a cp = a ; d'autre part, la vitesse

initiale étant nulle, on a aussi -^ = 0, pour ^ = ;

par suite, il vient :

= Cp' + C'P" ;

d'où l'on tire :

Par suite,

Or, puisque (r>' > (5", on a 6? < e , et, en

multipliant par p" < f^\ il vient : Çù'e' ^* < ^'e~^^^ Par conséquent, 9 ne pourrait tendre vers zéro que si t tend vers l'infini. Le mouvement est apériodique, puisque le pendule tend asymptotiquement vers sa position d'équilibre.

101. Supposons en second lieu les racines réelles et égales : elles seront toutes les deux négatives, et la solution générale de Tcquation (1) sera alors :

d'où :

^--^e" ^^ (C + C7) + Ce" ^\

En faisant ^ — 0, on a :

a « c, « C — |âC, d'où :

C « a, C =- afi ;

par suite,

Or, puisque ^ est positif, cette valeur de <p ne pourrait être nulle que pour ^=00. Le mouvement est donc encore apériodique.

Il résulte de là que les racines de l'équation (2) sont imaginaires, si, comme nous l'admettons, lemouvanient doit être oscillatoire.

102. Cela posé, reprenons les valeurs de p que nous pouvons mettre sous la forme :

cea racines étant imaginaiB^, posons :

et nous aurons :

La solution générale de l'équation (1) sera donc :

(p -= Ce + Ce

— e ( Ce + Ce ),

ou bien :

9 = e **iAcosY/y^ + BsinYiyJj-

Pour déterminer les constantes qui entrent dans cette formule, nous ferons ^ = ; d'où 9 = a, et ^ = 0. Or, on a :

s— â(^-r'\/l + B»inr<Vf)

+e »*(Ary/fsinY/Y/j+Bry/f cosY^y/f). w

Par suite, en faisant ^ = dans (3) et (4), on a :