Considérons le mouvement descendant, et nous aurons
d'où, en intégrant :
-c+vl
/ = C + \/ ~ arc ces ■ —
Pour déterminer la constante, faisons ^ *= 0, y = h, et nous aurons C = 0.
On a donc :
^ = \/ — are cos -^-7 —
C'est le temps employé par le mobile pour déciHre Varc km.
Si, dans cette formule, on fait y = 0, il vient :
•vf-
pour le temps employé par le mobile pour décrire Varc AB. Ce temps est, comme on le voit, indépendant de h. Donc, quel que soit le point de départ du mobile^ il arrivera au point le plus bas dans le même temps. Cest pour cette raison que la courbe s'appelle Tautochrone.
D'autre part, si l'on considère le mouvement ascendant, on a :
dt-^'- '^y
d'où, en intégrant entre les limites et A :
On voit donc que le temps employé par le mobile pour remonter à la hauteur h est égal au temps employé pour descendre de la même hauteur.
La durée de Voscillation entière sera donc :
Or, Aa est le rayon de courbure de la cycloïdc au point le plus bas. Donc (n** 97), la durée de Voscillation sur la cycloïde pour une ainplitude quelconque est la m£me qu'elle serait sur le cercle osculateur au point le plus bas pour de petites amplitudes.
105. Proposons-nous maintenant de démontrer que la cycloïde est la seule courbe tautochrone plane dans le vide. A cet effet, nous allons chercher quelle est
la courbe plane sur laquelle un point pesant^ abandonné sans vitesse initiale d'un point quelconque de cette courbe^ parvient dans le même temps au point le
plus bas.
pius oas.
Soient 5 «= ç (y) l'équation de la courbe. Tare s étant compté à partir du point le plus bas, et h la hauteur d'où part le mobile.
L'équation des forces vives nous donne :
d'où l'on tire :
,. ds
dt = -^
|/2flfiA- y)'
en observant que s diminue quand t augmente.
Nous aurons donc pour la durée du parcours depuis la hauteur A jusqu'au point le plus bas :
- / ^ds ^ f ds
Il s'agit de déterminer s en fonction de y, de telle manière que l'intégrale soit indépendante de h. Or, on a :
ds = <f' iy) dy.
par conséquent,
f z' (y) dy / \/2g (h - y)
Comme l'ordonnée y varie de à A, nous pouvons poser :
G étant une quantité positive, moindre que l'unité, et nous aurons :
J l/2gh(l-B)''J l/2gQa -9)'
et les limites de l'intégrale sont constantes.
Or, pour que t soit indépendant de h, il faut et il sufBt que la fonction ç' (^6) l/hB soit indépendante de h ; soit, en effet,
nous aurons :
p ûi [M) d)
Prenons la dérivée par rapport à A, il viendra :
dh ~ J i/2g3 a - 6)
et cette fonction doit être nulle, quel que soit h. Donc, ^' {M) doit être identiquement nulle; sans cela, on pourrait pi'endre h assez petit pour que 4*' (^^) conservât le même signe pour toute valeur de M comprise entre et h, et alors la somme ne pourrait être nulle.
On a donc :
ou bien, en remplaçant hO par sa valeur y,
On en tire :
\^ (y) z= const.,
et, par conséquent,
T' (y) \/y ~ const, -= i/a , d'où :
et, en intégrant,
cp (2/)«2l/Ây.
L'équation de la courbe est donc :
or, cette équation est celle d'une cycloïde dont le rayon a du cercle générateur est donné par la formule :
d'où:
Brachystoclirone.
Fiff. 24.
106. La cycloïde jouit encore d'une autre propriété remarquable. î
Soient A et B deux points situés dans un plan
vertical, A le plus élevé des deux. Supposons qu'entre ces deux points on mène une courbe quelconque ACB (flg. 24), et qu'un point matériel pesant glisse sans frottement le long de cette courbe.
Le théorème des forces vives qui est applicable (n*^ 49), nous
permet de déterminer le temps T employé par le mobile
pour décrire l'arc AB.
Cela posé, nous allons démontrer que la cycloïde à axe vertical^ dont le point de rebroussement est en A, et qui passe par le point B, est la courbe pour laquelle le temps T est un minimmn. Cett.e propriété a fait donner à la cycloïde le nom de brachystochrone.
Prenons pour axe des x l'horizontale Bx passant par le point le plus bas B, l'axe des y étant vertical Le temps T employé à décrire l'arc AB sera donné par la formule :
La question proposée consiste donc à trouver entre les points A et B une courbe telle que Fintégrale (1) soit un minimum. Or, on a :
et, si l'on pose :
y^Vg^, (2)
Vh — y
la question est ramenée à rendre l'intégrale
un minimum ; on sait qu'il faut pour cela que Ton ait :
8 f Ydx « 0.
Mais, si nous prenons œ pour variable indépendante, nous aurons dix — 0, et, par conséquent.
ùfydœ ^fhvdx.
D'ailleurs, V étant une fonction de y et de y\ on a :
SV = ^ 3y + V = NSy + Pôy ;
d'autre part, à cause de dix ^ 0, il vient :
j. , ^dy Qdy d^y
dx dœ "ïïœ
par suite^
yv^/^ « f(^lydœ + PrfSyl^pSy+y^N -^) Sycfo?,
et comme iy est nul aux limites, puisque les points A et B sont fixes, on a :
^f^d^=-f{^-^^Yydx.
Il en résulte que la condition :
ifydœ = 0,
nous donne l'équation :
De (2) on tire facilement :
ày' |/(/j y) (1 + y^)
et l'équation (3) nous donne la suivante :
1 l/l + y'" ^ |/(/t — yi (1 + y*)
Pour intégrer cette équation difTérentielle, posons :
dœ "= cotgarfy,
et l'équation (4) devient :
j sma a
2cosa(/i-y)l COtgarfy
©u bien, en réduisant :
•^ -= 2 (A — y) cosarfa + sinarfy.
sina
On en tire :
dif 2sina/c?a , h — y "" cos a
d'où, en intégrant :
l . (h — y) = 2 i . cos a + i . c% ou bien :
h ^ y =^ c cos^ a =
Nous aurons donc pour l'équation différentielle de la courbe :
Or, si Ton rapporte cette courbe à deux axes rectangxdaires ayant pour origine le point A, l'axe des y étant dirigé de haut en bas, les formules de transformation sont, en posant ÀK = k :
y = h — y\ et l'équation (5) devient :
doà
'\lr--
sous cette forme on voit que la courbe est une oycloïde dont l'axe des x' est la base, le point A étant le point de rebroussement.
107. Remarque. — On peut résoudre la question de la manière suivante, en observant que la condition pour que T soit un minimum est :
Or, om a :
/ ds ^ r ùds /' ds . q y'i
mais,
8rf5 = -T- odx + -^ Zdy,
ds ds
par conséquent, la condition de minimum (6) nous donne :
/^ dx r ^ r
-$=^doœ + \^yÈ=doi^+\^J^ o y h— y ^ yh — y ^ 2(h-^y^
En intégrant par parties les deux premiers termes^ il vient :
h dx dy
ds ^ , ds ^
^x -\ — ùy
yJT^ y" h— y
ds . ^ ( , ds ds
- j \Zxd—^==^ + Zy [ d ""^ :^^^^—j ;(-0.
Le premier terme est nul, puisque $œ et Sy sont nuls iiux deux limites ; par suite, on a :
J\ ^ / dy
\^ ^ ds . ^ I , ds ds
y à — y \ yh — y 2(h — y)ï.
on en conclut les deux équations :
dx
1 ds ^ ,-»
yh—y
dy , ds ds ^ .^
Or, il est facile de voir que ces deux équations se réduisent à la première ; en effet, on a identiquement :
ds ) i { ^^ ] 1
d'où, en diflférentiant, et en ayant égard à l'équation (7), il vient :
(iy^ dy
ds ds dy
i F=l^ y'IT^ 2 (A - ijf
ce qui est l'équation (8).
— 158 ~ ' D'ailleurs, de l'équation (7) on tire
d'où enfin
ds j/,
^ dx y h — y ^'
C'est l'équation (5) que nous avons trouvée précédemment (n"" 106).
