CHAPITRE X
Mouvement d'un point matériel sur une sphère. — Pendule conique.
108. Problème. — U7i point matériel pesant, suspendu à Veœtréynité d'un fil, ayant été écarté de sa position d'équilibre, est lancé dans une direction quelconque. Le mouvement de ce point ne s'effectue plus dans un plan vertical. Ce pendule se meut autour de la verticale passant par le point de suspension : il s'appelle pendule conique. Trouver le mouvement de ce point.
Le point matériel peut être considéré comme assujetti
à se mouvoir sur une sphère ayant pour centre le point
de suspension, et pour rayon la longueur du pendule.
Prenons pour origine le centre de la sphère, Taxe
des z étant dirigé dans le sens de la pesanteur (flg. 25).
Soient N la tension du fil (ou la réaction de la sphère), l la longueur du fil. Les cosinus directeurs de la normale au point m, vers le
centre de la sphère, œ y z
si nous considérons la quantité N comme positive ou négative, suivant que la réaction est dirigée
Fig. 25.
vers rintérieur ou vers l'extérieur de la sphère, nous aurons pour les équations différentielles du mouvement :
NX
dh/
mg —
On
a d'ailleurs :
Ces quatre équations serviront à déterminer x, y, z, N en fonction de t.
Des deux premières on tire :
d'où, en intégrant.
dy dx ,.3.
c étant mie constante. Cette équation n'est autre que celle que l'on obtiendrait en appliquant le théorème des aires au mouvement projeté sur le plan des ocy : ce théorème est, en effet, applicable, puisque la résultante de N et de mg est dirigée dans le plan passant par le point m et par la verticale du point de suspension (n^ 27).
Multipliant les équations (1) par dx, dy, dz^* -et ajoutant, il vient :
dœd^œ + dyd^y + dztPz 'd^ = ^^^'
le coefficient de N étant nul, puisque Ton a :
œdœ + ydy -\- zdz = ; en intégrant, il vient :
do?* + rfy« + dz^ , , ^
ou bien :
v^ = cf + 2gz,
c' étant une constante que l'on déterminera au moyen des conditions initiales du mouvement, qui nous donneront :
«n désignant par v^^ la vitesse initiale, et par z la valeur initiale de la coordonnée z.
On pouvait d'ailleurs obtenir l'équation (4) en appliquant le théorème des forces vives qui est applicable dans le cas actuel (n^ 49).
Les équations (2), (3) et (4) serviront à déterminer Wy y y z en fonction de t.
109. On peut, pour intégrer les équations (3) et (4), changer de variables, et prendre pour variables
.nouvelles l'angle 6 que fait le rayon Ont avec l'axe 0^,. et l'angle ^ que la projection de ce rayon sur le plan des ooy fait avec l'axe Ox. On a alors les formules :
a? = i sin G cos ^, y = Z sin 6 sin ^,
>3: = Z CCS 9,
d'où l'on tire :
— SB i CCS 9 CCS ^ -n — i sm 9 sm ^ ^ , -^ = Z ces 9 siin|; -^ + Z sin 9 ces ij; -^ ,
rf^ , . - d9
-— = ^ i sin 9 -77 .
Les équations (3) et (4) deviennent alors :
l^ sin2 9 §^ = c, at
Or, en posant, pour abréger.
ces 9 + c',
ces équations nous donnent les suivantes :
sin«e S = a, dt
la dernière devient, en ayant égard à la précéd^ite :
\dtl sin^G l d'où l'on tire :
dt--= ± . (6)
& H — r^ CCS —
l sin«0
et, par suite,
sin29\/6+ ^cos0— ^
sin^e
Comme rf^ doit toujours être positif, on prendra, dans ces formules, le signe + ou le signe — , suivant que c?ô sera positif ou négatif. On prendra donc le signe + lorsque le mobile monte, et le signe — lorsqu'il descend.
La formule (6) donne t en fonction de 6, au moyen des fonctions elliptiques ; lorsque l'on connaîtra la relation entre t et 0, la formule (7) déterminera ^ en fonction de t.
