Intégration des équations de la Mécanique^ 1889, p
110. On peut résoudre la question d'une autre manière, en employant des coordonnées polaires dans le plan des œy. A cet eflfet, nous désignerons par r le rayon vecteur mené de l'origine à la projection du mobile sur le plan des œy^ et nous aurons :
xdy — ydx = r^d^,
dœ^ + dy^ = dr^ + r^d^^.
Les équations (2), (3) et (4) nous donnent alors :
rH^ « cdt, (9)
dr^ + r^d^ + dz^
dt^
^d + 2gz. (10)
Or, on a :
rdr + zdz = 0,
et l'équation (10) devient :
z^dz^ + r*d^ 4- f^dz^ , , «
ou bien, à cause de (9),
(l^ — z') dt^ ~ ^ "•■ ^^^'
d'où l'on tire :
]/{l^ —z^} (c' + 2g Z) — (^ et, par conséquent,
rfi =- ± . . (12)
[V^ •— z^)\/p -— z^) \fi + 2gz) — c*
Comme la dlflEérentielle dt est toujours positive, on prendra le signe + lorsque le mobile descend, car dz est alors positif, et le signe — lorsqu'il monte.
Les deux dernières équations donnent ^ et ^j^ en fonction de ^, et l'équation (8) nous donnera r en fonction de z.
Les équations (11) et (12) ne peuvent être intégrées que par les fonctions elliptiques ou par approximation.
111. Pour déterminer la tension N du fil, multiplions les équations (1) par a?, y, z et ajoutons ; il viendra :
xd^x + yd^y + zdJ^z __ N x^ + .V^ + ^ .
d'autre part, l'équation (2) nous donne :
xdx -V ydv + zdz .
dt
d'où :
xd^x + ydHf 4- zd^z dx^ + dy'^ + dz^
dt^ "^ dt' ^ '
Par conséquent, on a :
d'où :
if^mf + mi, (13)
OU bien, en vertu de (4) :
m iSgz + c')
Cette formule nous apprend que N est positive, lorsque z est positif, c'est-à-dire lorsque le point mobile est au-dessous du plan horizontal passant par le centre de la sphère.
112. Remarque. — On aurait pu écrire immédiatement l'équation (13) en appliquant ce que nous avons dit (n** 87) de la pression exercée par un point mobile assujetti à demeurer sur une surface fixe.
En effet, —y- est la projection du poids mg sur
la normale à la sphère, et -y- n'est autre que la
projection sur cette même normale de la force centrifuge du mobile. En effet, soit R le rayon du cercle suivant lequel le plan osculateur en un point quelconque de la trajectoire coupe la sphère (ou le rayon du cercle osculateur de cette courbe).
La force centrifuge sera -^-, et, pour avoir sa
projection sur la normale à la surface (c'est-à-dire sur le rayon de la sphère qui passe au même point), on doit
multiplier cette force par y •
113. La solution du problème peut être achevée -complètement dans le cas où V angle 6 que fait le pendule avec la verticale reste toujours très petit pendant toute la durée du mouvement : le mobile s'éloigne alors très peu du point le plus bas.
Pour introduire cette condition dans les équations du mouvement, observons que l'on a :
cos9 =-T,
d'où Ton tire :
^2 ^2 = it sin« 9,
dz ^^ — IsinOdB.
Or, si l'on suppose l'angle 6 très petit, on pourra poser :
sin = 6, et ces 9 « 1 — -5- ;
par suite.
i (i — ^^Y ? — ^2 =. w, dz = — mo.
Nous aurons donc, dans ce cas,
md6
dt=^
y^wjc' + 2flrZ(l-|)j-c«
6dQ
Or, si l'on désigne par a% |3* les deux valeurs de 6 pour lesquelles la quantité sous le radical est nulle on a :
dt—T v =
En intégrant, et observant que la constante est nulle,, si l'on compte le temps à partir de l'instant où 6 = «^ il vient :
et, par suite,
