Problème I. — Un point matériel pesant tombe
verticalement dans le vide. Trouver les lois du
7nouvement.
Soient g l'accélération due à la pesanteur, m la liiasse
du point matériel, œ l'espace parcouru à la fin
du temps t, l'axe des œ étant vertical et dirigé
^ dans le sens de la pesanteur (flg. 1). L'équation
du mouvement est :
Fig. 1.
d^x dt^
mg,
ou bien :
dF-ff'
On en tire :
a? « I gt-,
en supposant que Ton compte les espaces et le temps à partir du point où la vitesse est nulle.
En éliminant t entre ces deux équations, on a :
ou bien :
L'expression l/2gx est la vitesse due à la hauteur x,
6. Problème IL — Un point matériel pesant est lancé verticalement de bas en haut dans le vide. Trouver les lois du mouvement.
Dans le cas actuel, la force qui est la pesanteur agit
en sens inverse du mouvement. Si l'on désigne
^^^'^' par œ l'espace parcouru à la fin du temps t,
"^ l'équation du mouvement est :
"3^ =-^2^, oubien: ^
^^ ^7F "== ~ ^^5^' ^^ '^^^^ • im^'^9'
en comptant les abscisses positives de bas ^ en haut (flg. 2).
I ni On en tire :
dx .
en désignant par a la vitesse initiale.
Par suite,
x = C + at — \gi^.
Si l'on compte les espaces à partir du point 0, où le mobile se trouve à l'origine du temps, on a a? = 0, pour ^ = ; par conséquent, C = 0, et il vient :
x^at — \gt^.
Désignons par 9 le temps au bout duquel le mobile cesse de monter, et par OA — A la hauteur à laquelle il s'élève, nous aurons :
On en tire :
Cette quantité ^ est la hauteur due à la vitesse a.
Arrivé à cette hauteur, le mobile commence à descendre, et revenu au point de départ^ sa vitesse reprend sa valeur initiale a.
'En effet, si, dans la formule du mouvement descendant (n^ 5) :
a^ on fait 0? = A = ?r- » il vient : i; == a.
2flr
Il est d'ailleurs facile de s'assurer qu'en un point quelconque de la verticale, le mobile a la même vitesse en montant et en descendant.
En effet, soit v^ la vitesse du mobile en un point m^ pendant le mouvement ascensionnel (fig. 2), nous aurons, en posant Om^ = ûî^, et en désignant par t^ le temps correspondant :
v^ = a — gt,.
Si v^ est la vitesse du mobile en ce même point m^ pendant la chute, nous aurons, en observant que
î5'2 = 2g [h — œ{\ = a- — 2gx^.
Il s'agit de démontrer que l'on a : -y^ = i?'. Or, de la formule :
v, '^a — gt,,
on tire :
d'où, en substituant dans la formule :
œ, ^ at, — \gt,\ on trouve :
fl^ — v,^
ou bien :
et, par suite,
î?j2 = a- — 2gx^,
Fig. 3.
7. Problème III. — Z7n corjjs pesant se meut sur un plan incliné. Trouver les lois du mouvement de ce corps.
Soit mg le poids du corps appliqué à son centre
de gravité G (fig. 3) ; la seule force qui tende à faire descendre le corps est la composante de son poids parallèle au plan incliné.
Or, si nous désignons par a l'angle ABC du plan avec l'horizon, cette composante sera égale à mgsmoL, et ré([uation du mouvement sera :
ou l)ien :
dv m -^ = 'ing sm a,
dv
On en tire
V = g sma. . t.
ou bien
ds . .
(roù :
s ^==\gt^ûïi(i. (3)
En éliminant t entre les équations (2) et (3) il vient :
v^ = 2gs . sin a. (4)
L'équation (1) nous apprend que le mouvement (lu C07ys le long du plan incliné est le même que celui qui aurait lieu suivant la verticale, si Vintensité de la pesanteur, au lieu d'être égale à g, était égale à ^sina.
Si nous désignons par y la vitesse au bas du plan incliné, par l la longueur de ce plan et par h sa hauteur, nous aurons, en vertu de l'équation (4) :
