V- = 2gl sin a « 2gh

Donc, la vitesse acquise par le mobile en arrivant au bas du plan incliné est la même que celle qu'il aurait acquise en tombant verticalement de la hauteur AC = h.

Cherchons encore la longueur que le mobile doit parcourir sur le plan incliné, pour que la durée de son m^ouvement soit égale à celle qu'il emploierait à descendre de la hauteur h.

Fig. 4.

Soient x cette longueur, et t le temps employé par

le mobile pour parcourir cette longueur. La formule (3) nous donne :

X ^=^\gt^ sin a.

D'autre part, si t est le temps employé à parcourir la hauteur AC = A, nous aurons (n** 5) :

En égalant les deux valeurs de ^ il vient :

iT = A sin a.

Or, si du point C on abaisse une perpendiculaire sur AB (fig. 4), on a :

AD = A sin a.

Doiïc, la longueur cherchée s'obtient en abaissant du point C une perpendiculaire sur le plan incliné.

Remarque. — La position du point D change évidemment avec l'inclinaison du plan : le lieu du point D sera la demi - circonférence décrite sur AC comme diamètre. On en conclut la propriété suivante :

Propriété. — Sous Vaction de la pesanteur un mobile emploie le ynême temps pour décrire un diamèt^^e vertical AC, que pour parcourir les différentes cordes qui passent par Veœtrémité suj)érieure de ce diamètre.

8. Problème IV. — Trouver le mouvement dun point matériel pesant tombant dans le vide à partir dHun point situé à une assez grande distance de la surface de la terre.

Dans ce cas, rintensité de la pesanteur ne peut pas être considérée comme constante : elle est en Fig. 5. raison inverse du carré de la distance au centre de la terre.

Soient A le centre de la terre (flg. 5), B le point ^ où la droite OA rencontre la surface de la terre.

B Lorsque le point matériel est en B son poids est égal à mg.

En désigTiant par œ la distance Om, par a

la distance OA, par r le rayon de la terre,

laç le poids P' du point matériel en 77i sera donné par la formule :

mg (a — oo)

d'où :

p' =r nig

L'équation différentielle du mouvement est donc, en supprimant le facteur m commun aux deux membres :

dt^ "" ^ (a - œr ' ^ '

Multipliant les deux membres par 2doc, et intégrant, il vient :

dxV ^ 2gr^ dû) "^ a — 00

On dctcrmine la constante C, en ol)servant qu'au point 0, c'est-à-dire pour j? = 0, la vitesse est nulle ; on a donc :

par suite,

^ \a — X al a a — œ ^

Cette formule nous apprend que la vitesse augmente avec x^ ce que Ton pouvait prévoir.

Si l'on fait d? «= OB = a — ^* = A, il vient :

comme r < a, on en conclut que la vitesse du mobile en arrivant à la surface de la terre est moindre que la vitesse qu'il aurait en tombant de la même hauteur h, si la pesanteur était partout la môme qu'à la surface.

Pour d? = a, on a r> — oo ; donc, si toute la masse de la terre était concentrée à son centre^ la vitesse acquise par le mobile en arrivant au centre se^^ait

infinie,

dx Si dans la formule (2) on remplace v par sa valeur -- ,

il vient :

idxV- 2gr- x \dt} "~" a ' a — x'

d'où l'on tire :

V 2gr^ \ œ \ 2gr' y/ax - x^

Nous avons donné aux radicaux le même signe, parce que dx et dt sont de mêmes signes, ^ et ^ augmentant en même temps.

En intégrant, on a :

. l^/a ( (a — œ) dx

"" r V 2g J i/ax — x^

o ir œ

= L 4 /a P^ a — x)dx ,1a /^ r \adx r V 2g J j/ao? — x^' '^ r\ 2g J y/ax — â;- '

par conséquent,

arc ces

9. Probli^me V. — Trouve}^ le mouvement rectiligiie d'un point matériel attiré par un centre fixe 0, en raison directe de la distance.

Soit un point matériel placé d'abord au point A, où sa vitesse est nulle (flg. 6), et attiré par un centre O,

et soit m la position du *'' ' mobile à la fin du temps t.

^ l JJ[ 2 X Comme la force attractive

a pour effet de diminuer l'abscisse du point m, l'équation du mouvement sera :

n^ étant l'attraction exercée sur Tunité de masse du point mobile à l'unité de distance.

Multipliant les deux membres par Idx, et intégrant, il vient :

Pour déterminer la constante, observons que pour 0? = OA = a, on a ^^ = ; d'où C == n^a^. On a donc :

Extrayons la racine carrée des deux membres, en observant que de A en 0, a? diminue quand t augmente, et, par conséquent, que dx et dt sont de signes contraires ; nous aurons :

d'où :

ndt = —

on en tire, en intégrant :

nt « consé. + arc^cos - .

Or, pour ^ = 0, on a a? = a ; donc la constante est nulle, et il vient :

nt = arc ces - ,

d'où :

0? =» a cos nlj et, par conséquent,

i; == — na sin nt.

Discussion. — Lorsque le mobile est en 0, on a ^ = 0, d'où :

n^ = - , ou bien ^ = --- , 2 2n

et, par suite,

tj = — na.

Ainsi, depuis t = jusque t = —, œ est positif,

et décroit jusque zéro, v est négatif et croît numériquement jusque na. Au point 0, la vitesse est maximum, et dirigée dans le sens AO : le mobile dépassera donc le point 0, et continuera à se mouvoir en vertu de la vitesse acquise.

Pour déterminer le point A où le mobile s'arrête, faisons v «= 0, et nous aurons :

nt = TT, d'où t = -,

et, par suite,

On a donc OA' = OA.

Le mobile arrivé en A' a une vitesse nulle ; il est donc placé, par rapport au point 0, dans les mêmes conditions qu'au point A : par conséquent, il sera attiré vers avec une vitesse croissante de A' en 0, où sa vitesse sera na. Il continuera sa route en vertu de la vitesse acquise jusqu'au point A, pour revenir en 0, et ainsi de suite.

Le mobile fera donc une infinité d'oscillations égales entre elles, et de même durée de A en A', et de A' en A.

10. Problème VI. — Trouver le mouveinent d'un point matériel pesant^ qui tombe suivant la verticale dans un milieu résistant^ par ecce^nple dans Vair.

Les lorces qui agissent sur le mobile sont le poids du corps égal à mg^ et la résistance de l'air R, qui est dirigée en sens contraire du mouvement. La force motrice au point m (fig. 1) est donc mg — R, et, par conséquent, l'équation du mouvement est, en désignant par œ l'espace parcouru par le mobile à la fin du temps t :

Or, on reconnaît par l'expérience que la résistance de l'air est une fonction de la vitesse : lorsque le mouvement n'est ni très lent, ni très rapide, cette résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. On a donc, en désignant par A une constante :

R = kv^,

et l'équation du mouvement est :

m-^^mg — kv\

ou bien :

dv . .

m -TT — mg — kv^.

Pour la facilité des calculs, nous poserons A = mgk , et l'équation pourra être mise sous la forme :

On en tire :

d'où, en intégrant,

Or, pour ^ = 0, onai; = 0; par suite, la constante est nulle, et il vient :

2gk l —kv ^ '

Cette équation nous donne :

^ff^^ __ l + kv

d'où :

Zght ght — glu

C'est la i*elation entre la vitesse et le temps.

Pour obtenir l'espace en fonction du temps, remplaçons V par sa valeur -^ dans l'équation (4), et nous aurons :

gïU — ght

dx \ e — e

d'où, en intégrant,

1 / ffht - gtu\

X — — T^ l\e +e I + const.

Or, pour ^ = 0, on a a? = ; par suite,

const. = -^2 ^2'

et il vient :

ght — ght

1 je +e

gk* 2

On peut encore trouver une relation entre l'espace et la vitesse.

En effet, si dans la formulé :

dx = vdty

on remplace dû par sa valeur (2), on a :

, 1 vdv ^^^gl - AV'

X = — -^—71 Ml - A*^^) + const.

Or, si l'on observe que pour â? = 0, on a t? — 0, la constante est nulle, et il vient :

Remarque. — L'équation (4) que l'on peut écrire :

nous apprend qu'à mesure que t augmente, v converge

vers la valeur constante -r- Mais, on n'a t; = -r que

pour ^ = oo ; par conséquent, le mouvement tend à devenir uniforme, mais il ne l'est jamais rigoureusement.

11. Problème VII. — Trouver le mouvement d'un point matériel 2^^sant lancé verticalement de bas en haut dans un milieu résistant.

Si nous comptons les abscisses positives dans le sens Oœ (flg. 7), l'équation du mouvement est :

s ^-^ft wî^ - R,

m ou bien, en posant R « mgk^v^

On en tire :

ai 1 ^^ (9)

d'où :

^ = r arc tg Al? + consL

Or, si Ton désigne par a la vitesse initiale, on a : i;=a, pour t «= 0, et, par suite,

const. = — r arc tg ka.

On a donc :

t ==-r (arc tg ka — arc tg kv), (3)

ou bien :