CHAPITRE XI

Mouvement d'un point matériel soumis à l'action d'une force centrale.

116. Problème. — Un point matériel libre est sollicité par une force dirigée vers un centre fixe et dont Vintensité ne dépend que de la distance du point au centime fixe. Trouver les propriétés du mouvement de ce point.

Nous savons (n° 29) que la trajectoire est une courbe plane dont le plan passe par le centre d'action, et par la direction de la vitesse initiale du mobile. Nous rapporterons donc le mouvement à deux axes rectangulaires pris dans ce plan, l'origine étant au centre fixe. Désignons par r la distance du point à l'origine, par x^ y ses coordonnées, et par y

l'intensité de la force accélératrice. Les cosinus

directeurs de cette force sont > — —, si elle est

attractive, et — » —, si elle est répulsive. Il en résulte

que les composantes de la force sont — 9 —, — cp -^

dans le premier cas, et 9 — , 9 — dans le second cas.

Nos formules se rapporteront au premier cas, et il suflîra de changer le signe de 9 pour les appliquer au second cas.

Les équations différentielles du mouvement sont donc :

Nous pouvons remarquer ici que la force étant dirigée vers un centre fixe, le principe des aires est applicable- (n*^ 30), et, par suite, on a, en désignant par l'angle que le rayon vecteur r fait avec l'axe

des X :

r^dB = cdt, (2)

c étant une constante qui se détermine par les conditions initiales du mouvement. A cet effet, désignons par Vq la vitesse initiale du mobile, a l'angle qu'elle fait avec la droite menée de la position initiale

du mobile vers le centre fixe, r. la longueur de cette

dQ droite ; on sait (I, n** 76) que r -^ est la composante

de la vitesse suivant la perpendiculaire au rayon vecteur. Par conséquent, pour ^ «= 0, on a :

et, par suite, l'équation (2) nous donne, en y faisant

c = rj,!;^ sina. (3)

Le principe des forces vives qui est également applicable au problème actuel (n'' 50) nous donne :

vdv = — cprfr,

ou bien :

dv^ = — 2<f dr, (4)

et, en intégrant,

t?2 — î?^2 =» — 2 f(fdr. (5)

Les équations (2) et (5) peuvent d'ailleurs se déduire facilement des équations (1). Ce sont deux intégrales premières des équations du mouvement.

117. Observons encore que, comme nous l'avons vu (n^^ 32), l'équation (2) équivaut à la suivante :

vp = c,

V étant la vitesse, p la perpendiculaire abaissée du centre sur la direction de la vitesse. On en tire :

Donc, la vitesse en un point quelconque de la trajectoire est en raison inverse de la distance du centre fixe à la tangente à la trajectoire au point considéré.

118. Proposons-nous maintenant de trouver V expression de la vitesse en fonction des coordonnées polaires du point mobile.

Prenons le point pour pôle, l'axe des œ pour axe polaire ; nous aurons :

or, de l'équation (2) on tire :

par conséquent,

ou bien :

Cette formule permet de déterminer la vitesse en un point quelconque, lorsque l'on connaît la trajectoire.

119. On peut aussi trouver V expression de la force accélératrice cp en fonction des coot^données polaires du mobile.

A cet eflfët, reprenons l'équation :

dv^ = '-2(fdr\ (4)

d'autre part, l'équation (6) nous donne en diflférentiant, 9 étant la variable indépendante :

, „ A 2dr 2dr r }

r^ r^ rf6«

d'où, en remplaçant dans (4), il vient :

Cette formule permet de déterminer la force en un point quelconque de la courbe, quand on connaît l'équation de la trajectoire.

Remarque. — Cette même formule (7) permet de déterminer la trajectoire^ quand on connaît la loi suivant laquelle la force varie.

120. Application. — Supposons la force proportionnelle à la distance du point au centre fixe. Nous aurons alors :

fjt étant une constante positive dans le cas de l'attraction, et négative dans le cas de la répulsion.

Les équations dilQFérentielles du mouvement sont :

En intégrant, il vient :

a? = A sin f [/(t + B cos < l/jx,

(8) y = A'sin tl/ ^ + B'cos t )/ p ,

A, B, A', B' étant des constantes que l'on détermine par les conditions initiales du mouvement. En prenant pour axe des œ la droite qui va du centre à la position initiale du mobile, et pour axe des y la perpendiculaire à cette droite du même côté que la direction de la vitesse initiale, r^, v^ et a ayant les mêmes significations que ci-dessus (n° 116), nous aurons, pour ^ -= :

a>^r„ y = 0, (^)^ = - «;„ cos «, (g)^= tJ„sina;

ces conditions nous permettent de déterminer les quatre constantes A, B, A', B', et nous aurons :

Vn ces a . . , /- , ^ . / —

x = 2 — =r— sm t y ^ + r^ cas 1 1/ iJL,

v^sm CL . .,/y= \ sm^l/p.

Ces formules déterminent les coordonnées ce, y du mobile en fonction du temps. Elles donnent pour ces coordonnées des valeurs périodiques, et l'on voit que la durée de la période est :

2Tr

En éliminant t entre les équations (9), on obtient pour l'équation de la trajectoire :

(œ sin a -h y cos a)^ +^2/2 = r^^ sin« a. (10)

Ainsi donc, quand i^ est positif, c'est-à-dire lorsque la force est attractive^ la trajectoire est une ellipse ayant pour centre le point fixe. Elle se réduit à un cercle, quand on a :

a. ^B — • V ^ srs ut* '

Lorsque fx est négatif, c'est'-à-dire lorsque la force est répulsive^ les équations du mouvement sont :