I -=/(^i' + Vi^) dm + M (^o' + y
ou bien :
I = I^ + MroS
en désignant par r^ la distance des deux axes.
142. Problème. - — Trouver le moment /Tineriie d'un corps par r^apport à un axe 01 passant par Vorigine et faisant des angles «, |3, y avec les axes.
Soient m {œ, y, z) un point du corps (fig. 27), mP = r sa distance à Taxe 01. Nous aurons :
^ / r^dm.
Or, on a :
r» = S2 sin« = S^ (1 — cos« 6)
= a?* + y* + ;2:^ — (a? CCS a + 2/ ces p 4- ^ cos v)«
= a?Ml — COS^ a) -f. y2 (1 — cos« P) + <2:2 (1 — COS« y)
— 2œy cos a cos [3 — 2xz cos a cos y — 2yz cos ,8 cos y,.
ou bien, à cause de la relation
cos* a + cos* p -|- cos" y = 1, r2 = x^ (cos* p + cos* y) + y^ (cos* a + cos* y) + z^ (cos* a + cos* p )
— 2a)y cos a cos p — 2^xr cos a cos y — 2yz cos p cos y = (y^ + 'Z^) cos* a 4- (^2 + x^) cos* p + (^* + 2/^) cos*y
— 2yz cos p cos y — 2œz cos y cos a — 2xy cos a cos p.
Remplaçons r^ par cette valeur dans l'expression de I, et posons :
k^f[y^'\-z^)dm, B=J{z^+x^)dm, C^f[œ^+y^dm,
I^ = / y^dm, E = ixzdm, F = iœydm,
nous aurons :
I = A cos2 a + B cos2 j3 + C ces' y
— 2D cos p ces y — - 2E ces a ces y — 2F ces a ces p.
Il est facile de voir que les quantités A, B, C sont les moments d'inertie du corps par rapport aux axes 0^, Oy , 0-3^ ; quant aux quantités D, E, F on leur donne le nom de produits d'inertie par rapport à ces mêmes axes.
143. Problème. — Trouver la loi suivant laquelle varie le moment d'inertie d'un corps par rapport à une droite quelconque 01, lorsque cette droite prend successivement toutes les positions possibles autour du point 0.
Soit I le moment d'inertie du corps par rapport à un axe 01, déterminé par les angles a, (3, y qu'il fait avec les axes. Nous aurons (n"" 142) :
I =- A cos2 a 4- B cos2 P + C cos2 y
— 2D cos (3 cos y — 2E cos a cosy — 2F cos a coa^.
Cela posé, prenons sur la droite 01, à partir du point 0, une longueiu" ON = — rr, et cherchons le lieu géométrique du point N ainsi obtenu.
En désignant par X, Y, Z les coordonnées du point N, et par p la distance ON, on a :
û = — 7=, cosa = — =Xl/l, cosB = — = Yl/l,
Z CCS 7 = — = Z l/ï ,
et, en substituant dans l'équation précédente, il vient :
1 = AX2 + BY2 + CZ2 — 2DYZ — 2EXZ — 2FXY.
Le lieu est donc une surface du second degré, ayant pour centre le point 0. D'ailleurs, comme le moment d'inertie I ne peut être nul pour aucune droite menée par le point 0, le rayon vecteur |i de cette surface ne peut jamais devenir infini. Par conséquent, la surface est un ellipsoïde.
A chaque point de l'espace correspond un ellipsoïde analogue, qui fait connaître la loi de variation du moment d'inertie du corps par rapport aux différents axes menés par ce point. Cet ellipsoïde a reçu le nom d'ellipsoïde d^inertie. Poinsot l'appelle ellipsoïde central.
D'ailleurs, de la formule :
f-FT
on tire :
On on conclut le théorème suivant :
Théorème. — Les moments cVinertie cVun corps par roîpport à différents axes passant par une même origine sont inversement proportionnels aux carrés des rayons vecteurs dhtn ellipsoïde d^inertie ayant cette origine pour centre.
Remarque. — Si le corps se réduit à une surface plane, et si l'on prend les moments d'inertie de cette aire par rapport à tous les axes de son plan passant par un même point, l'ellipsoïde est remplacé par ime ellipse que l'on appelle ellipse d'iyiertie.
Axes principaux d'inertie.
144. Il est évident que les coefficients A, B, C, D, E, F ont des valeurs qui dépendent du choix des axes coordonnés. Si l'on prend pour axes coordonnés les axes principaux de l'ellipsoide, les équations précédentes se simplifient.
En effet, les rectangles des variables disparaissant alors de l'équation de l'ellipsoïde, on a :
D « 0, E = 0, F == 0, ou bien :
/ yzdm = 0, / xzdm — 0, / xydm = 0.
L'équation de l'ellipsoïde se réduit à la suivante :
On voit donc qu'il existe toujours un système d'axes tel que les trois intégrales D, E, F soient nulles.
Ce système étant celui des axes de l'ellipsoïde est unique, lorsque les trois axes de l'ellipsoïde sont inégaux. Ces trois axes s'appellent axes principaux d'i7iertie relatifs au point 0, et les moments correspondants sont appelés moments d'inertie principaux.
Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque passant par l'origine sera , donc, en désignant par a, /3, y les angles que cet axe fait avec les axes principaux, et par A, B, C les moments d'inertie principaux :
I = A cos2 a -f B cos2 ? + C cos« y. (A)
145. Il résulte de ce que nous venons de voir que les axes principaux d'inertie pour un point sont caractérisés par les trois relations :
/ yzdm = 0, / xzdm = 0, / xydm = 0.
Si l'on considère seulement deux de ces relations, par exemple les deux premières, l'équation de l'eDipsoïde ne renfermera pas la variable z au premier degré. Par suite, les deux relations :
/ yzdm =0, / xzdm = 0,
sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que Vaxe Ides z soit un axe principal du corps relatif au point Q.
146. Si deux des ^noments principaux sont égaux, par exemple si l'on a : A = B, Y ellipsoïde est de révolution autour de l'axe des z. Dans ce cas, les moments d'inertie relatifs à toutes les droites du plan des xy, c'est-à-dire à toutes les droites menées par le centre de l'ellipsoïde perpendiculairement à son axe
de révolution sont égaux entre eux. Toutes ces droites sont donc des axes principaux d'inertie, et les moments d'inertie relatifs à ces axes ont pour valeur A =^ B.
D'ailleurs, puisque pour un quelconque de ces axes on a : 7 = 90"^, la formule (A) (n° 144) nous donne :
I = A (cos* a + cos« P) = A.
147. Si les trois moments principaux sont égaux ^ c'est-à-dire si l'on a : A = B = C, Vellipsoïde devient une sphère. Dans ce cas, tous les moments d'inertie sont égaux entre eux; tous les axes sont des axes principaux ; une droite quelconque menée par le point sera un axe principal.
D'ailleurs on a alors pour le moment d'inertie relatif à im axe quelconque :
I = A (ces* a + cos^p + cos^ y) = A.
148. Théorème. — Si un axe est principal pour un point pris sur sa direction, le produit d^ inertie sera nul pour un axe quelconque situé dans le plan mené par le point perpendiculairement à cet axe.
En effet, si l'axe des z est principal pour le point 0, nous aurons (n^ 145) :
I yzdm=^0, fxzdm^O.
Cela posé, soient (âg.28) Ox' une droite quelconque menée dans le plan àesxy par le point 0, <p l'angle qu'elle fait avec l'axe des x, et x', y' les coordonnées
(l'un point m du corps par rapport aux axes 0.^?' et Oy\ Nous aurons :
x' ^ xcos(f + y sin ç, y' = — j? sin cp 4- y ces <p.
Par suite, le produit d'inertie relatif à l'axe Oaf sera :
/ œ^zdm = cos ç / xzdm + sin (p / yzdm = 0,
ce qui démontre le théorème énoncé.
Réciproquement, un axe sera principal pour une origine prise sur sa direction, lorsque le produit d'inertie sera nul pour un axe qiielœnque mené par le point dans un plan perpendiculaire à cet axe.
En eflFet, si / œ'zdm = 0, quel que soit Vangle y, il résulte de la formule précédente que l'on aura :
I xzdm = 0, fyzdm =» 0.
149. Théorème. — Si un axe est principal pour une origine 0, il n'existe pas, en général, d'autre point pris sur sa direction pour lequel il soit principal.
En effet, si l'axe 0^ est principal pour l'origine 0, on a :
Fig. 29.
ixzdm = 0, / yzdm = 0.
Soit 0' un point pris sur l'axe 0^ (fig. 29), et posons 00' = e ; par le point 0' menons deux axes O'o?', O'y' parallèles à Ox et Oy, et
cherchons les deux intégrales :
I x^z^dniy I y'z^dm.
Nous aurons : x = œ*, y = ij\ z == z' + c ; par suite, / afzUlm = I œ(z — c) chu = j xzd^n — cM^^»
/ y'zUlm = I y [z — c) dm = 1 yzdm — cMy^,
^0» ^0» ^0 étant les coordonnées du centre de gravité du corps.
On a donc :
/ x'z^dm = — cMa?o, / y'z'dm = — cMy^.
Or, en général, 0?^, y^ ne sont pas nuls ; par conséquent, les produits d'inertie 1 x'z'd^n et J y'z'dm ne sont pas nuls, et, par suite, l'axe des z n'est pas principal pour le point 0'.
En particulier, si l'axe O.3: passe par le centre de gravité du corps, on aura : x^ =- Oj y^, == 0, et, par conséquent,
/ x^z'dm = 0, / y'z'dm = 0,
quel que soit c.
Donc, im axe principal du centre de gravité est piHncipal pour toutes les origines prises sur sa direction.
Fig. 30.
Gî
150. Problème. — Une droite quelconque étant donnée^ on demande de déterminer si cette droite admet une origine prise sur sa direction pour laquelle elle devient axe principal.
Prenons la droite pour axe des z (fig. 30), et deux
droites Ox et Oy pour axes des X et des y. Par hypothèse, l'axe Oi: n'est pas principal pour l'origine :
par conséquent, j xzdm et I yzdm sont différents de
zéro.
Cherchons s'il existe un point 0' pour lequel cette droite 0^ soit un axe principal, et menons par ce
point deux axes O'o?' et OV parallèles à Ox et Oy.
Si l'axe des z est principal pour l'origine 0', nous
devrons avoir :
/ x^z^dm = 0, / y^Tidm = 0.
Or, en désignant par c la distance 00', on a (n"* 149)
/ x^z^dm = / xzdm — cMa?^,
/ y^z^dm = / yzdm — cMy^' Nous aurons donc deux équations :
/ xzdm — cMi^o = 0, / yzdm — cM^o == 0,
pour déterminer l'inconnue c. Par conséquent, le problème est impossible, à moins que l'on n'ait :
I œzdm j yzdm
ou bien :
y^ I xzdm — œ^ iyzdm = 0. (B)
Telle est la condition qui doit être vérifiée pour que l'axe Oz puisse être principal pour un point 0' pris sur sa direction. Ce point 0' sera alors déterminé par la formule :
I Cfzdm Iyzdm
Il est facile de voir que l'équation (B) exprime que le produit d'inertie est nul par rapport à un axe OK mené par le point pei'pendiculairement au plan passant par la droite et le centre de gravité du corps.
En eflfet, désignons par K le produit d'inertie par rapport à cette droite OK, et soit cp l'angle que cette droite fait avec l'axe Ox ; nous aurons (n** 148) :
K = CCS (p / œzdm + sin cp / yzdm.
Or, comme cp = 90° + «, on a :
ces cp == — sin a = — -^^ , sin cp = ces a = — ^
en désignant par a?^, y^, z^ les coordonnées du centre de gravité, et par ro sa distance à l'axe O.2:. Par conséquent,
K = — ^ I xzclm H — - I yzdm^
et la condition (B) nous donne K == 0.
Donc, pour qu'une droite quelconque qui n'est pas un axe principal pour une origine prise sur sa direction^ le devienne pour une autre origine 0', il faut que le produit d'inertie soit nul par rapport à un axe 7nené par le point perpendiculairement au plan passant par la droite et le centre de gravité du corps.
151. Théorème. — La somme des moments d'inertie d'un corps par rapport à trois axes rectangulaires partant d^un même point 0, est constante et égale à la somme des moments principaux relatifs a ce même point.
En effet, soient 0^, Oy, 0^ les axes principaux du corps, et 0^', Oy', O^s' trois axes rectangulaires passant par le même point 0, (a, |3, 7), («', j3', /), (a", j3", 7") les angles que les derniers axes font avec les premiers.
En désignant par A', B', C les moments d'inertie relatifs aux axes Oa?', Oy', Oz\ on a (n** 144) :
A' = x\ cos2 a + B cos2 ^ + C cos^ y, B' = A ces- a' + B cos^ P' + C C0S2 y', C = A ces» a" + B cos« P" + C cos* y".
En ajoutant, et ayant égard aux relations :
CCS* a + COS^ a' H- CCS* a" =» 1 ,
ces* p + ces» P' + cos2 p" = 1, ces' Y + ces* y' + cos^ y" = 1 »
il vient :
et le théorème est démontré.
152. Propriété. — Lorsque les trois moments d'inertie principaux sont différents, si l'on suppose A < B < C, on aura toujours en désignant par I le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque :
I > A et I< C.
En effet, si dans la formule :
I = A cos^ a + B cos2 P + C cos^ y,
on remplace cos^a par sa valeur tirée de l'équation :
cos2 a + cos* p + cos^ Y = 1»
on trouve :
I = A (1 — cos2 p — cos2 y) + B cos2 (î + Ccos« y>
ou bien :
I = A + (B — A) cos2 13 + (C — A) cos» y ;
par conséquent,
Si, dans cette môme formule, on remplace cos^y par sa valeur, il vient :
I = A cos« a + B cos« [â + C (1 — cos2 a — ces* P),
I = C — (C — A) cos« a — (C — B) cos^ p,
et par suite,
Donc, le moment d'inertie le plus grand est le moment principal maximum^ et il correspond au plus petit axe de Vellipsoïde, Le moment d inertie le i^lus petit est le moment principal minimum^ et il correspond au grand axe de Vellipsoïde,
C'est d'ailleurs ce qui résulte de la propriété que le moment d'inertie par rapport à un axe est en raison inverse du carré du rayon vecteur correspondant de l'ellipsoïde central (n** 143).
153. Propriété. — Le lieu des axes par rapport auxquels le moment dinertie est égal au m^oment d'inertie moyen principal B se compose de deux plans également inclinés sur le plan des xy, et passant par Vaxe Yimyen de Vellipsoïde.
En effet, le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque (o^, |3, y) est donné par la formule :
I = A cos» a -f B cos2 p 4- C cos2 y ;
faisant dans cette formule I = B, il vient :
B = A cos2 a + B ces* p + C cos» y, ou bien :
B = A cos^ a + B (1 — cos2 a — cos* y) + C cos^ y. On en tire :
CCS
CCS g __ , * /c — B cosy "~ V B — a'
Or, si l'on désigne par œ, y, z les coordonnées d'un point quelconque pris sur l'axe (a, (3, y), on a :
X __ CCS g z ~^ cosy'
et, en éliminant 5c, y entre les deux dernières équations, on trouTe pour l'équation du lieu :
J=^^ Vb^=^*
Cette équation représente deux plans passant par l'axe des y et également inclinés sur le plan des œy.
Remarque. — Cette propriété est d'ailleurs évidente, si l'on observe que le lieu des axes pour lesquels le moment d'inertie est égal à B n'est autre que le lieu des rayons vecteurs égaux à l'axe moyen de l'ellipsoïde. Or, ce lieu se compose, comme on sait, des sections circulaires de l'ellipsoïde.
ooo
154. Problème. — Trouver le lieu des axes dune même origine 'par rapporl auxquels les moments dHneiHie ont la même valeur.
Le moment d'inertie par rapport à un axe (a, (3, y) est donne par la formule :
I = A cos2 a + B cos2 13 + C cos^ y, ou bien :
(I — A) cos2 a + (I — B) cos2 (3 + (l — C) cos^ y = o.
Or, les équations de l'axe étant :
Au
cos a CCS p ces y '
si l'on élimine «, P, y entre ces dernières équations, il vient pour l'équation du lieu :
C'est mi cône du second degré ayant son sommet à l'origine.
Applications.
>. F Moment dinertie d'une ligne droite homogène par rapport à un axe passant par une de ses extrémités et perpendiculaire à sa direction.
Soient OA = a la longueur de la
droite (fig. 31), dx un élément situé
y à une distance x de l'axe Oy ; nous
aurons :
Fig. 31.
