I :=r I X-dX

Fig. 32.

2*^ Moment dHnertie dune droite homogène par rapport à un axe passant par son extrémité et -incliné dhtn angle 6.

Soit OA = a la longueur de la droite : considérons un élément au point m de cette droite, et soient Om = p, mp = y (fig. 32). Nous aurons :

a I = jtf- rfp ;

or, on a :

y = p sin 9 ;

d'où :

1 = ^2 81112 9^^?==— sin^e.

Fig. 33.

3° Moment d'inertie d'un rectangle par rapport à Vun de ses côtés.

Soient a et & les longueurs des côtés que nous prendrons pour axes coordonnés . Considérons une tranche élémentaire mnpq (flg. 33), située à une distance y de Taxe des œ : la surface de cette tranche est ady ; sa distance à l'axe des œ étant y, son moment d'inertie par rapport à Ox sera ay^'dy.

Nous aurons donc pour le moment d'inertie du rectangle par rapport à l'axe des X :

aftfdtj

Si l'on veut obtenir le moment d'inertie de ce rectangle par rapport à un axe MN situé à une distance S du côté a, nous aurons, en observant que ce moment est la différence des moments de deux rectangles ayant pour hauteurs 6 4- <î et (î, et pour base a :

I = 2|(ft + 8)3 ssj == ^(je 4. 3J5 + 38«).

4** Moment d'inertie d'un triangle par rapport à sa base.

Soit un élément mnpq du triangle ACD (fig. 34) :

le moment d'inertie de ce ^^^' ^** rectangle infinitésimal est

^y^dx. Par conséquent, en

posant AD = a, le moment d'inertie du triangle ACD

1 r sera - / y^dx. Oï, on a :

d'où :

et, par suite, le moment d'inertie du triangle ACD est :

de même, le moment d'inertie du triangle BCD est T^hh^, en posant BD = h. Le moment d'inertie du triangle ABC est donc :

en désignant par.c la longueur de la base AB.

Remarque. — Le moment d'inertie du triangle par rapport à un axe passant par son centre de gravité et parallèle à la base est (n** 141) :

5® Moment dCinertie dune circonférence de cercle par

rapport à un a^e passant par Fig. 36. ^^^ centre et perpendiculaire à son

plan.

Soient r le rayon du cercle, ds la longueur d'un élément (fig. 35),.

'• Nous aurons :

tTcr

I r^ds =

2Kr^.

6® Moment dHnertie d'une circonférence par rapport à son diamètre.

Prenons le diamètre pour axe des œ^ et soit y la distance de l'élément ds à ce diamètre (fig. 36). Noua aurons :

fj/^ds ;

or, si l'on désigne par 9 l'angle au centre, on a :

y— :Rsine, ds — RfifO.

Par conséquent,

Î7C tlt