ka — kv

t '^ —r arc tg rr — (4

gk 1 -h k^av

De cette formule on tire :

1 ka — tg gkt ^^'^ k' i + katsgkt' ^^'

C'est l'expression de la vitesse en fonction du temps. On peut la mettre sous la forme suivante :

1^ ka ces gkt — sin gkt "^ A * CCS gkt + ka sin gkt '

Pour obtenir l'espace en fonction du temps, il sutïît de remplacer v par sa valeur -j- » ce qui donne :

dx 1 ka ces gkt — sin gkt

dt k' cos gkt -f- ka sin gkt '

et, en intégrant,

X =• -TT l (cos gkt + ka sin gkt) + const.

Or, pour ^ = 0, on a a; = ; par suite, la constante est nulle, et il vient :

œ = — p l (cos gkt + ha sin gkt). (6)

On peut aussi obtenir une relation entre l'espace et la vitesse. En effet, si dans la formule :

dx == vdt, on remplace dt par sa valeur (2), on a :

1 vdv dœ = —

d'où :

si l'on observe que pour a? = 0, on a î; == a, il vient :

= — ~^, l (1 + k^a^) + const.;

par conséquent,

^ " 2gk^ l + k^v^-' ^^

Si l'on désigne par h la hauteur la plus grande à laquelle parvient le mobile, et par T le temps de l'ascension, on a, en faisant v = dans les formules (7) et (3) :

T «= -j arc tg ka.

Le mobile parvenu à cette hauteur A, commence à descendre, et, si nous désignons par o! la vitesse qu'il possède lorsqu'il revient au point de départ, et par T' la durée de la chute, nous aurons, en vertu des formules (5) et (3) (n^ 10) :

2gk^ l — k^d^ '