XV X
I ^JJtfdxdy ^fdxf]i^dy — ^j^\y^ — y^^ dœ.
8** Moment d inertie d!un cercle par rapport à un
axe perpendiculaire à son plan.
Considérons une bande comprise entre deux cercles de rayons p et p + dp (flg. 37) : la surface de cette bande est 2rrprfp. Or, le moment d'inertie de cette bande étant égal à la somme des moments d'inertie de ses éléments, et tous ces éléments étant à la même diistance p de l'axe 01, le moment d'inertie de la bande est 2nodç . p* = 2?rp' dp. Par conséquent,
le moment d'inertie au cercle est :
p3rfp -^.
9** Moment d'inertie d'un cercle par rapport à son diamètre.
Le moment d'inertie du cercle est égal à la somme des moments de ses éléments.
Cîonsidérons un élément ^'^- ^^' mnpq (flg. 38) compris
entre deux cercles de rayons p et p 4- dp et deux rayons vecteurs consécutifs faisant des angles 6 et 6 + d6 avec le diamètre : la surface de cet élément est pdpdô, et sa distance au diamètre est p sin 6. Le moment d'inertie de cet élément est donc p' sin^ erfpd9. Par suite, le moment d'inertie du cercle est :
I«=y Assin^erfpcie
Tir^
Remarque. — Le moment d'inertie d'une bande circulaire comprise entre deux cerclés de rayons R et R' sera donc ;
10** Moment d'inertie cTune ellipse par rapport à Vun de ses aœes.
L'équation de l'ellipse est :
le moment d'inertie par rapport à l'axe des œ est donné par la formule :
^ffy^doody.
Nous prendrons le moment d'inertie du quart de l'aire de l'ellipse, et nous multiplierons le résultat par 4. Les limites de l'intégrale seront donc :
et par suite,
I = 4 fdœfy^dy = ^ f(a^ - x^f dx.
Pour trouver cette dernière intégrale, posons 00 = a sin cp, et nous aurons :
TU
^ 4ab^ r . 7 T^àb^
I cos* cp d(p =
7ra^
Remarque. — Si l'on suppose a = ft, il vient I = -^y
ce qui est le moment d'inertie d'un cercle par rapport à son diamètre.
11** Moment d'inertie (Tun solide de révolution par rapport à son axe.
Soient Ox l'axe de révolution (flg. 39), et AB la courbe génératrice, wiP et m'P' deux ordonnées consécutives,
abcd un élément inflnité- ^'S'^9' simal. Posons OP = a?,
y Pa ^ u ; nous aurons :
abcd == dudœ.
Le volume engendré par abcd en tournant autour ""x de 0^ est 2nududx, et le moment d'inertie de ce volume élémentaire est ZT^ududœ .u'^ ^2T:u^dudx.
Par conséquent, le moment d'inertie du volume engendré par l'aire ABCD est :
on
27r / dœ iu^du = ^ fy^dœ.
12® Moment d'inertie dun cylindre par rapport à son axe.
On peut considérer le cylindre comme engendré par
le rectangle OABC (flg. 40)
tournant autour de l'axe des x.
Si donc on désigne par R le
rayon OB de la base, et par h
B I , c la hauteur, il vient :
Fig. 40.
I = 27r fdx iu^du =
nR*h
Remarque I. — On pouvait arriver à ce résultat -en considérant le cylindre comme composé de tranches élémentaires perpendiculaires à l'axe. Le moment d'inertie d'une tranche d'épaisseur dœ est égal à la somme des moments d'inertie de ses éléments, et chaque élément est un cercle perpendiculaire à l'axe du cylindre. Le moment d'inertie de la tranche sera donc égal à
-5- dœ ; par conséquent, pour le cylindre, nous aurons :
ttR^A
Remarque II. — Le moment d'inertie d'une couche cylindrique comprise entre deux cylindres de rayons R 'Ct R', aura pour expression :
13^ Moment d! inertie d'un segment sphérique.
Soit â7* + y^ = R* l'équation du cercle générateur , nous aurons :
I = 2TzfdxfuHu - |y(R* - (xf)^ dx
«ro o oco
= I /*(R* + as* — 2R«a;«) dcc,
d'où :
I = |JRMa^-.^o) + ^^-2R*^^-
Remarque. — Si l'on suppose x^ = 0, et a? -= R^ on a pour le moment d'inertie de la demi sphère :
et pour la sphère entière :
14° Moment dC inertie â!un parallélipipède rectangle homogène par rapport à Vune de ses arêtes.
Cherchons d'abord les moments d'inertie par rapport à trois axes Oo?, Oy, Oz menés par le centre parallèlement aux trois arêtes dont nous désignerons les longueurs par 2a, 26, 2c : à cause de la symétrie, ces trois axes sont des axes principaux.
Or, dœdydz étant le volume d'un élément, le moment d'inertie par rapport à l'axe Oz sera :
1 f fç (^* + y*) dxdydz = p fœ*dx 1 dy 1 dz
en désignant par M la masse du paralléhpipède.
Nous aurons de même pour les deux autres moments d'inertie :
Il s'ensuit que le moment d'inertie par rapport à l'arête parallèle à 0^ est (n^ 141) :
Les moments d'inertie par rapport aux deux autres arêtes sont : .
