CHAPITRE IL
Mouvement d'un système quelconque.
Principe de d'Alembert.
156. Considérons un système de points matériels sollicité par des forces quelconques et se mouvant sous l'action de ces forces et des conditions auxquelles il est assujetti.
Les forces qui agissent sur les différents points se divisent en deux catégories : les forces intérieures et les forces extérieures (I, n** 244).
Lorsque le système est de forme invariable, les forces intérieures sont deux à deux égales et directement opposées. A un autre point de vue, on divise aussi les forces en forces données et en forces tenant lieu des liaisons^ celles-ci pouvant être intérieures ou extérieures (I, n^ 380). Il est évident que, si nous joignons aux forces motrices qui sollicitent le système, les forces qui tiennent lieu des liaisons (réactions des obstacles, etc.), le système pourra être considéré comme libre.
Nous pourrons donc appliquer à chacun des points du système les équations du mouvement d'un point libre, si nous tenons compte de toutes les forces extérieures ou intérieures qui agissent sur ce point.
Soient m un point du système (flg. 41), AB la trajectoire qu'il décrit dans son mouvement, P la force motrice qui le sollicite à la fin du temps t, F la force qui tient lieu des liaisons à cet instant. Il est évident que la trajectoire AB n'est pas la môme que celle que décrirait le point m, s'il était libre, sous l'action de la
Fig. 41.
force P seule. Mais, il est évident aussi qu'il existe toujours une certaine force Q qui, étant appliquée au point m libre, lui ferait décrire la trajectoire AB, c'est-à-dire qui communiquerait au point m rendu libre, le mouvement qu'il possède réellement à la fin du temps t. Cest cette force Q que l'on appelle la force effective : la force — Q s'appelle la force cT inertie.
Cela posé, appliquons au point m les deux forces Q, — Q, égales et de sens contraires : le mouvement du point m ne sera pas changé par l'introduction de ces forces. Le point m rendu libre est donc sollicité par les forces P, F, Q, — Q. Or, la force Q seule produirait le mouvement réel du point m. Il en résulte que les trois forces P, F et — Q se font équilibre. On arriverait à des résultats analogues pour chacun des points du système, et l'on aura par conséquent le théorème suivant :
Principe de d'Alembert. — Dans un système de points matériels en mouvement^ il y a équilibre^ à chaque instant^ entre les forces motrices appliquées au système^ les forcées de liaisons et les forces dCinertie des différents points du système.
157. Cela posé, nous pouvons rétablir les liaisons du système, en supprimant les forces F : l'équilibre continuera à subsister, en ayant égard aux liaisons, entre les forces P, P',... et les forces — Q, — Q^... Nous pourrons alors énoncer le théorème de la manière suivante :
Théorème. — Dans un système de points Tnatériels en mouvement, il y a équilibre, à chaque instant, en vertu des liaisons, entre les forces motrices appliquées au système et les forces d'inertie des différents points du système.
Comme on le voit, le principe de d'Alembert a pour résultat de ramener la théorie du mouvement d'un système de points matériels à la théorie de l'équilibre.
158, Remarque. — On peut donner une autre forme au principe de d'Alembert de la manière suivante :
Nous pouvons décomposer la force P, appliquée au point m en deux forces, l'une égale à la force effective Q et une autre que nous appellerons la force R. Faisons la même opération en chacun des points m, m',... du système. Puisque les forces Q, Q'... suffisent pour produire le mouvement de chacun des points du système, il en résultera qu'à chaque instant les forces R se feront équilibre au moyen des liaisons. Ces forces R, qui ne sont pas utilisées pour le mouvement, s'appellent forces perdues. Nous aurons alors le théorème suivant.
Théorème. — Bans un système de points matériels en mouvement^ il y a équilibre, à chaque instant, en vertu des liaisons, entre les forces perdues.
159. Le principe de d'Alembert nous fournit V équation générale de la Dynamique,
En effet, puisqu'il y a équilibre, à chaque instant, au moyen des liaisons, entre les forces tnotrices et les forces dinertie des différents points du système, il en résulte (I, n° 384) que la somme des travaux virtuels de toutes ces forces doit être nulle, à chaque instant, pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à cet instant.
Nous aurons donc, en désignant par Ss le déplacement virtuel du point m :
EP25 cos (P, 85) — SQ55 CCS (Q, Is) = 0,
le signe S s'étendant à tous les points du système, et les déplacements $s devant être compatibles avec les liaisons du système à l'instant considéré.
Cette équation peut être mise sous une autre forme. En effet, soient m la masse du point m, œ, y, z ses coordonnées à la fin du temps t, X, Y, Z les composantes de la force P qui agit sur ce point à cet instant, 5œ, dy, Sz les projections du déplacement virtuel Ss sur les axes. Le travail virtuel de la force P
est Xix + Y$y + ZSz ; d'autre part, les composantes
d^ûc d ti d^ z
de la force d'inertie étant — m -jjt » — m -j^ > — m ttt^ »
dt dt dt'
le travail virtuel de. cette force sera :
Jj'équation des travaux virtuels nous donne donc :
C'est Céquation générale de la Dynamique, ou Véquation de Lagrange. Il est bien entendu que les déplacements Sx, Sy, dz\... doivent être compatibles avec les liaisons du système au moment considéy^é,
160. Remarque I. — Nous devons observer ici qu'il y a une distinction à établir entre les signes S qui entrent dans l'équation de Lagrange, et dans l'équation des travaux virtuels (I, n"" 384).
Dans l'équation de Lagrange, le signe S se rapporte à toutes les masses de tous les points du système, même celles sur lesquelles aucune des forces données n'agit directement : c'est ce qui résulte de la manière dont cette équation a été établie.
Dans l'équation d'équilibre de la Statique :
2 (X5a? + Yoy + Zlz) = 0,
le signe S ne se rapporte qu'aux points soumis à l'action des forces données : c'est aussi ce qui résulte de la manière dont cette équation a été établie (I, n° 382).
Remarque IL — L'équation de Lagrange subsiste encore lorsque les masses mobiles, au lieu d'être concentrées en des points isolés, remplissent d'une manière continue un certain volume; mais, dans ce cas, la masse m devra être remplacée par rf;n, et le signe S par une intégrale.
Remarque III. — Si le système est un solide invariable libre, il sera inutile de passer par l'équation des travaux virtuels. Il suffira d'écrire les six équations d'équilibre d'un nombre quelconque de forces appliquées à un solide invariable (I, n*^ 301).
161. Nous allons voir maintenant comment l'équation de Lagrange conduit aux équations différentielles du mouvement d'un système^ lorsque les liaisons entre les n points du système sont exprimées par des équations de condition entre les 3w coordonnées de ces n points et le tefnps t. Observons d'abord que, puisqu'il y a n points, on a à déterminer 3n coordonnées en fonction de t, ce qui exige la connaissance de 3n équations entre ces coordonnées et le temps.
L'équation du mouvement est :
Soient :
Li (t, œ, y, z, an', y', z', ...)•= 0, Lî (t, OB, y, z, ai, y\ ^', ... ) — 0,
u (<, ^, y, ^, (^yy\ z\ — ) = 0,
les h équations de condition auxquelles doivent satisfaire les coordonnées des n points du système. Puisque le déplacement doit être compatible avec les liaisons
du système telles qu'elles existent à Vinstant œnsidéré, il faut que les variations ioo, dy, 3z, 8œ',... soient telles qu*en remplaçant ^, y, z, œ\... par œ + àœ^ y + Sy, z + iz^ œ^ + iœ\... en laissant t constant, dans les équations (2), ces équations soient encore vérifiées par les nouvelles coordonnées (I, n** 381). On doit donc avoir les équations de condition :
Lj + SLi = 0, Lj + SLg = 0. ... U + Su = 0.
Puisque ces dernières équations doivent être vérifiées en même temps que les équations (2), on en tire :
SLj = 0, ôLj -= 0, ... Su = 0,
en ayant soin de traiter le temps t comme une constante dans les diflférentiations relatives à la caractéristique S.
Nous aurons donc :
^&. + ^^îy + ^^5. + ^W + ...-0,
ce qui nous donne k équations entre les 3n variations dxj iy, 8z...\ au moyen de ces k équations on peut déterminer les valeurs de k variations en fonction
des 3n — h autres. En substituant ces valeurs dans l'équation (1), on obtiendra une équation qui ne renfermera que 3n — A variations. Or, ces variations seront maintenant arbitraires, et l'équation qui les contient devra être vérifiée , quelles que soient les valeurs que l'on attribue à ces variations indéterminées. On devra donc égaler à zéro les coefficients de ces 3n — A variations, ce qui nous donnera 3n — k équations entre les 3n coordonnées a?, y, z, a?',... et le temps t. En joignant ces 3n — k équations aux k équations (2), nous aurons les ^n équations nécessaires et suffisantes pour déterminer les 3n coordonnées en fonction du temps. Les constantes arbitraires introduites par rintégratioii se déterminent, comme toujours, au moyen des circonstances initiales du mouvement.
162. Observons que les opérations que nous venons de faire reviennent à éliminer k variations entre les équations (1) et (3). Or, cette élimination qui est, en général, très pénible, peut se faire par la méthode des multiplicateurs^ laquelle présente, comme nous allons le voir, des avantages particuliers.
Multiplions les équations (3) respectivement par des facteurs indéterminés Xj, ig,... ?;t, et ajoutons les résultats obtenus à l'équation (1). Nous obtiendrons ainsi une équation (L) renfermant les 3n variations Sx, dy, dz... Comme, parmi ces 3n variations, il y en a A qui sont dépendantes des autres, nous disposerons des facteurs ^1» K^'" 'a» de manière à faire évanouir dans réquation (L) les coefficients de ces k variations. Les 3n — k variations restantes étant arbitraires^ leurs coefficients doivent être nuls séparément. On voit par là qu'il faut égaler à zéro les coefficients des 3n variations ce qui nous donnera les 3n équations suivantes :
"• rf/.— ^ + '■■# + '• -a; + ■•• + '« 1>F •
Entre ces 3n équations on éliminera les k multiplicateurs >i, Xg,... /jt, et l'on obtiendra les 3n — à équations à joindre aux équations (2) pour obtenir la solution du problème.
163. L*avantage de cette méthode consiste en ce qu'elle fournit les efforts que les liaisons produisent sur chacun des points du système. En elBEet, chacune de ces équations (4) est l'équation du mouvement d'un point libre projeté sur l'un des axes coordonnés. Ainsi, les trois premières sont les équations du mouvement du point m considéré comme libre, sous l'action de la force donnée X, Y, Z et des k forces :
\ ' 100 ' '''dy ' ' dz)' \ « dx ' « dy ' '« dz )' "■
•••r*"5^' '* ôy' ^"-dij-
La même remarque s'applique aux autres groupes de trois équations.
Il résulte de là que :
^' 'dx ' ' dx ' - ^* dx '
sont les composantes suivant l'axe des œ des actions que les liaisons exercent sur le point m, et, par conséquent, les équations (4) nous donnent l'expression des forces qui pourront remplacer chacune de. ces liaisons. Il est, en effet, évident que, si l'on supprimait la liaison Lj = 0, rien ne serait modifié dans le mouvement, si l'on appliquait :
F au point m une force ayant pour composantes :
dœ ' • \ dy ' "^ dz ' 2*^ au point m! une force ayant pour composantes :
ot ainsi de suite,
164. On conclut encore de là que la force à introduire en un point m (a?, y, z), lorsque l'on supprime une liaison Lj «= 0, est normale à la surface représentée par l'équation L^ = 0, dans laquelle on considérerait comme seules variables les coordonnées {x, y, z) de ce point, les coordonnées des autres points du système étant supposées constantes.
165. Remarque. — Le déplacement effectif que prend un système n'est pas toujours un déplacement compatible avec les liaisons à l'époque t. Cela ne peut avoir lieu, que si les liaisons ne renferment pais expliciten^nt , le My)yps .
Nous avons vu (n** 161) que, pour que le déplacement soit compatible avec les liaisons du système,. il faut que les équations :
Li «0, L.2 = 0, ... La = 0,
qui sont vérifiées par les valeurs x, y, >3:,... soient aussi vérifiées par x + ^x^ y + ^y, z + $z,... le temps t restant constant. Nous devons donc avoir les équations :
dhy '^ , dh. ^ , dit. -K . ^
"di ^ + "5^ ^^ -^ "57 '^ + - ^^•
Or, les déplacements eflfectifs (réels) dx, dy, dz,... ne satisfont pas, en général, à ces équations. En effet, dx, dy, dz,... sont les projections sur les axes de l'élément effectivement parcouru pendant le temps dt. Il en résulte que les équations :
L, « 0, Lj, - 0, ... Lh == 0,
devront être vérifiées quand on y change t en t + dty ^ en â? + dx,... et nous aurons alors les équations :
On voit donc que Ton ne pourra prendre :
ox = dx, oy = dy, oz = dz^ ..., que si Ton a :
dt ^' d^ "' - dt "'
c'est-à-dire 5^ le temps t rC entre pas explicitement dans les équations de liaisons.
Applications.
166. Problème L — Trouver le mouvement d'un point matériel de masse m, assujetti à glisser sans frottement sur une courbe qui varie à chaque instant de position et même de forme.
Soient :
les é(q[uations de la courbe ; X, Y, Z les composantes de la force motrice appliquée au point ??i.
L'équation de Lagrange nous donne :
des équations de liaisons on tire :
ÔF ^ , dF ^ . dF .
dx
ày
dz
En éliminant Sx, dy, 3z entre ces trois équations, on obtient une équation entre x, y, z, t, et en la joignant aux équations de la courbe, nous aurons trois équations pour déterminer x, y, z en fonction de t.
167. Problème IL — Un point 7natériel pesant glisse sans frottement sur une droite rigide qui décrit
un cône droit autour de la verticale avec une vitesse angulaire constante w. On demande de trouver le mouvement de ce point.
Soient l'angle constant ZOA du cône (fig. 42), ^ l'angle compris entre le plan mobile ZOA et sa position initiale ZOX, r la distance Ow. On a évidemment :
^ = îùt\
d'autre part, on a pour les équations de la droite mobile OA :
œ = rsinQ ces w^,
y == r sin 9 sin w^,
^ s= r CCS 0.
Les composantes de la force motrice étant X = 0, Y «= 0, Z « 7ng, l'équation de Lagrange nous donne :
Or, on a :
ùœ ^^ sin 6 ces tôt . Sr,
Sy — sin 9 sin tôt . Sr,
Zz = ces 9 Sr ;
on a aussi :
d^x id^r 4 c^ dr . . ^ An
-7.7 = ( -^Mi CCS 0)/ - 2w -TT sm iùt — (i)V ces w^ ) sm 9,.
^^. « (^ sin (0^ + 2(0 ^ ces w^ — wV sin w^) sin 9^
â^z dhr .
Par conséquent, en éliminant les dérivées et les variations de a?, y, z, on obtient l'équation :
- — tjV sin* 9 «= gr ces 0.
Cette équation linéaire du second ordre à coefficients constants a pour intégrale :
(iut sin — (ntsin. 6 g ^q^ Q
(0* sin* ô
Pour déterminer les constantes, supposons que Ton ait r^ -= 0, et que v^ soit la vitesse initiale du point sur la droite mobile. Nous aurons :
w* sm* 9
D'autre part, on a :
t?o = J-^ ) « Au) sin 9 — Bw sin 9.
De ces équations on tire :
fl^ cos 9 4- iùv^ sin 9 ~ 2a)« sin* ô
-. grco>9 — fa)i?Qsin9
2(0* sin* 9
Connaissant r en fonction de ^, nous pourrons déterminer x, y, z en fonction de t, et le problème sera résolu.
