CHAPITRE [V

Théorèmes généraux.

175. Nous allons démontrer que les théorèmes généraux que nous avons obtenus pour le mouvement d'un point unique s'étendent au mouvement d'un système matériel. Ces théorèmes peuvent se déduire comme conséquences du principe de d'Alembert.

Théorème du mouvement du centre de gravité.

176. Considérons un système matériel libre dans l'espace, et soient m la masse d'un point quelconque de ce système, a?, y, ^ les coordonnées de ce point, X, Y, Z les composantes suivant les axes de la résultante des forces extérieures pour ce point, Yj, Yj, Z, les composantes de la résultante des forces intérieures suivant les mêmes axes. Nous aurons pour le point m rendu libre les équations du mouvement :

Nous aurons trois équations analogues pour chacun des points du système. En ajoutant membre à membre les équations relatives aux mêmes axes pour tous les points du système, il vient :

Sm^ — SZ + SZi.

Or, les forces intérieures étant deux à deux égales et de sens contraires, leurs composantes suivant les axes sont deux à deux égales et de signes contraires. On a donc :

SXj »= 0, £Y, = 0, SZ^ = 0, et, par suite,

Dans ces équations X, Y, Z désignent les composantes de toutes les forces extérieures ^ y compris les forces de liaisons quand elles sont extérieures (réactions des appuis, s'il y en a, etc.).

Comme on peut prendre pour axe des œ une droite quelconque de l'espace, la première des équations (2) nous donne le théorème suivant :

Théorème. — Dans un système matériel en mouvement^ à un ifistant quelconque^ la somme algébrique des projections des forces effectives de tous les points du système sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des forces extérieures sur ce même a^e.

177. Remarque I. — Il est bon d'observer que l'on obtiendrait immédiatement les équations (2) par l'application du principe de d'Alembert au système matériel libre : ce sont les trois premières des six équations qui expriment l'équilibre de ce système sous l'action des forces extérieures et des forces d'inertie.

Remarque IL — On peut trouver les équations (2) au moyen des équations de Lagrange, en donnant au système un mouvement élémentaire de translation. Cette translation sera compatible avec les Maisons du système, puisque le système est supposé libre.

Dans ce cas, tous les Ss sont égaux, et, par conséquent, tous les Sx sont égaux, ainsi que les iy et les $z^ et l'équation de Lagrange nous donne :

-2:(x-m5) + Bs,i:(Y-m^)

Or, le déplacement de translation es étant arbitraire, cette équation doit être vérifiée quels que soient dXy iy, 3^ ; on a donc :

ce sont les équations (2).

Remarque III. — Nous pouvons encore observer que ces équations (2) sont aussi les trois premières . des six équations qui expriment l'équilibre des forces perdues.

178. On peut donner aux équations (2) une autre forme. A cet effet, soient M la masse totale du système, ^1' y\y ^i l^s coordonnées de son centre de gravité à l'époque t, nous aurons (I, n*" 323) :

M = Sm, Ma?i = Smo?, My^ == Smy, M^i = Hmz ;

d'où :

^W'^^'^Tr ^W^'^'àr ^Ht^^'^Tt'

^-s^-^w^ ^it^'-^J^ ^ni—^'^dr

par suite, les équations (2) nous donnent les suivantes :