ha\ 2Qk i—ka

en égalant les deux valeurs de A, on a :

ou bien :

d'où l'on tire :

Or, le dénominateur de cette dernière formule étant plus grand que l'unité, il s'ensuit que al est toujours plus petit que a. Donc, la vitesse avec laquelle le mobile revient au point de départ est moindt^e que la vitesse initiale. C'est d'ailleurs ce que l'on peut conclure facilement de la formule (8) laquelle nous donne :

et, par conséquent, a > a'.

Proposons-nous maintenant de trouver la relation qui existe entre le temps T de la chute et le temps T de V ascension. Nous allons démontrer que T' est plus gi^and que T. A cet effet, nous donnerons d'abord à l'expression de T une forme différente.

De la formule (8), on tire :

par conséquent,

T = -^ arc tff

gk "^ »/ 1 - A*a'«

d'ailleurs, de la formule (10), on conclut, puisque la vitesse initiale a est toujours réelle, que l'on a ka^ <\. Cela posé, pour démontrer que T' > T, remarquons que l'on a :

T' — T =- -igh

, . \ -\- ka' , ka'

1 l 1 zn:7 — arc tg

i — ka' °|/i-/^2^'2

T' — T est donc une fonction de a' : or, pour a' == 0, on a T' — T == 0. Donc, si T' > T, il faut que pour toutes

les valeurs possibles de a', la fonction T' •— T soit croissante, et, par conséquent, que sa dérivée soit positive.

Mais, on trouve facilement :

d (V — Ti 1 ( 1 ,

da' g\/l — k^a!^ ( 1/ 1 — k^CL'^

or, ka^ étant plus petit (jue Tunité, j/l — k^a'- est réel ; d'ailleurs, on a :

et. par suite, la dérivée de T' — T est positive; cette fonction est donc croissante, et l'on en conclut que le temps de la chute est plus grand que celui de r ascension.