Cas particulier. — Si l'on a
SX = 0, SY««0, EZ = 0,
il vient :
^mvx = c, ^mvy «= c', ^mvz — d\
Ces équations nous donnent le théorème suivant :
Théorème. — Lorsque les forces extérieures qui sollicitent un système matériel sont nulles à chaque instant^ ou telles qvHétant transportées parallèlement à elles-mêmes en un point 0, elles s^y feraient équilibre, la somme des projections des quantités de mouvement de tous les points du système sur un axe fixe quelconque est constante pendant toute la durée du mouvement.
Par conséquent, la résultante des quantités de mouvement de tous les points du système transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque reste constante en grandeur et en direction pendant toute la durée du mouvement. C'est le principe de la conservation de la quantité totale de mouvement.
Théorème des moments des quantités de mouvement.
184. Reprenons les équations (1), multiplions la troisième par y, la seconde par z, et retranchons. Nous aurons :
^^(2^S-"^lfO^(^y-^''>+(^^y-^^^''
faisant la somme des équations analogues pour tous les points du système, il vient :
^"^^ {y ^-^ ?f ) =^(2y -^'^> + ^ (Ziy - Y,^)-
Or, les forces intérieures étant deux à deux égales et directement opposées, la somme de leurs moments par rapport à un axe quelconque est nulle ; par conséquent,
et l'équation précédente nous donne :
Sm(y§-.^^) = 2:(Zy-Y.);
de même.
Les seconds membres des équations (6) ne renferment que les forces extérieures : ce sont les sommes des moments des forces extérieures par rapport aux trois axes coordonnés. D'autre part, l'expression :
est la somme des moments des forces eflTectives des différents points du système par rapport à l'axe des œ. D'ailleurs, comme on peut prendre pour axe des x une droite quelconque, on a le théorème suivant :
Théorème. — Dans tout système matériel en onouvement^ la somme des moments des forces effectives de tous les points du système par rapport à un axe quelconque est^ à chaque instant, égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport au m,ême axe.
185. Remarque I. — On pouvait obtenir les équations (6) par l'application du principe de d'Alembert au système matériel libre : ce sont les trois dernières des six équations qui expriment l'équilibre de ce système sous l'action des forces extérieures et des forces d'inertie.
Remarque IL — D'ailleurs, ces équations (6) peuvent aussi se déduire de l'équation de Lagrange, en donnant au système un ^nouvement élémentaire de rotation autour de l'origine 0, cette rotation étant compatible avec les liaisons du système, si celui-ci est libre. On a alors :
5a? -= zoq — y5r, oy «=a xor — zop^
Zz =a ySp — â7og ;
en substituant dans l'équation de Lagrange, et égalant à zéro les coefficients des variations ip, iq, Jr, lesquelles sont arbitraires, on obtiendra les équations (6).
186. Si nous reprenons maintenant les équations (6),. on peut les mettre sous la forme suivante :
-^ Sm {ycz — z^^ ^^{jAi — Yz), -^ Em {xvy — yvx) «= S (Yo? — Xy). ,
Or, en considérant les quantités de mouvement comme des forces, et les transportant à l'origine 0, les expressions S^n (yr« — zvy) , 2m {zvx — arotj , Swz {ocvy — yvx) sont les couples composants du couple des quantités de mouvement.
Si nous désignons par OK Taxe du couple résultant des quantités de mouvement, et par ?, >?, Ç les coordonnées de l'extrémité K de cet axe, ces coordonnées seront respectivement égales aux projections de OK sur les axes, c'est-à-dire aux couples composants du couple des quantités de mouvement. Nous aurons donc :
et les équations (7) nous donnent les suivantes :
On en conclut le théorème suivant :
Théorème de M. Resal. — Dans tout système matériel en mouvement^ si Von détermine pour un instant quelconque Vaœe OK du couple résultant des quantités de mouvement de tous les points du système^ et Vaœe OG du couple résultant des forces extérieures, pour une même origine 0, cette seconde droite OG représentera en grandeur et en direction la vitesse du point K extrémité de la première OK.
187. Cas particulier. — Si la somme des moments des forces extérieures par rapport à l'axe des x est nulle pendant toute la durée du mouvement, on aura :
S(Zy-Y^)«0;
par suite,
Sm (yvz — zvy) = 0,
dt
ou bien :
2m (yVz — zvy) = const.
D'ailleurs, comme on peut prendre pour axe des ar une droite quelconque, on a le théorème suivant :
Théorème. — Si la somme des moments des forces extérieures par rapport à un axe fixe est constamment nulle (ou si Vaxe du couple résultant des forces extérieures est constamment normal à une droite fixe)^ la somme des moments des quantités de mouvement de tous les points du système par rapport à cette droite reste constante pendant toute la durée du mouvement.
188. Supposons maintenant que les forces données se réduisent à des forces intérieures (actions mutuelles), ou à des forces dirigées vers un centre fixe pris pour origine, ou à des forces qui se réduisent à une force unique passant par l'origine ; en général, que Vaxe du couple résultant des forces extérieures soit nul à chaque instant. Nous aurons :
S \Zy — Y^) = 0, S (X^ — Zx) = 0, S (Y^ — Xy) « 0.
Les équations (7) nous donnent alors :
2m iyvz — zVy) = c", 2m (zvx — xvg) = c', 2m [xvy — yvx) = c.
<?, c\ c" étant des constantes déterminées par les circonstances initiales. Il en résulte que, dans ce cas, les projections de OK sur les axes sont constantes; donc, OK est constant en grandeur et en direction^ et l'on a le théorème suivant :
Théorème. — Dans un système matériel quelconque^ lorsqu'il n'y a pas de forces extérieures^ ou lorsque Vaxe du couple résultant de ces forces pour une origine est constamment nul^ Vaxe du couple résultant des quantités de mouvement de tous les points du système pour ce même point est constant en grandeur et en direction pendant toute la durée du mouvement. En d'autres termes, la sornm^ des moments des quantités de mouvement par rapport à une droite quelconque passant par ce point reste constante pendant toute la durée du mouvement.
C'est en cela que consiste le principe de la conservation des moments des quantités de mouvement,
189. Remarque. — Le théorème des moments des quantités de mouvement subsiste encore lorsque, au lieu de rapporter le mouvement du système à trois axes fixes, on le rapporte à des axes mobiles de direction constante passant par le centre de gravité du système.
En effet, soient Go?', Gy\ Gz^ trois axes rectangulaires menés par le centre de gravité parallèlement aux axes fixes, a?i, yp ^1 les coordonnées du centre de gravité par rapport aux axes fixes, x\ y\ z' les coordonnées d'un point m du corps par rapport aux axes mobiles ; nous aurons :
x^x^-r oc;\ y = y^+y', z = z^-\- z'.
Par suite.
„.+^*ft^i.
Mais, Torigine des coordonnées af^ y, js' étant au centre de gravité, on a (I, n** 328) :
I,mx' = 0, Swiy* — 0, lansf — 0,
d'où :
et il vient alors :
D'autre part, on a aussi :
S (Zy - Yz) = X [Z (ij, + y) - y (z, + z')]
= y , 2Z ~ ^, SY + V (Zy - Y^').
Substituant dans la premiore dos ('équations (G), et ayant égard aux équations (3), il vient :
Or, cette équation ne diffère de la première des équations (G) que par la substitution de œ\ y\ z^ à x, y, z. Il en serait de même des équations que Ton obtiendrait au moyen des deux autres équations (G). On ol)tient donc par rapport à des axes mobiles du centre de gravité trois équations analogues à celles que l'on obtient par rapport à trois axes llxes de l'espace. Il résulte évidemment de là que toutes les conséquences que nous avons tirées de ces équations (G) se maintiennent quand on rapporte le mouvement à des axes mobiles passant par le centre de gravité. Par conséquent, le théorème des momeitts des quantités de mouvement subsiste par rapport au centre de gravité.
Théorème des aires.
190. Le théorème des moments des quantités de mouvement donne lieu à une interprétation géométrique remarquable.
On sait que l'expression :
dy dx
est égale au double de la dérivée par rapport au temps de l'aire kz décrite par la projection du rayon vecteur sur le plan des œy, l'aire étant positive quand le rayon vecteur se meut des x vers les y.
Il en résulte que, si l'on a à chaque instant du mouvement :
S (Yx — Xy) — 0,
l'équation :
Swi (xvy — yvcc) = c,
nous donnera la suivante :
^ dkz c
et, par conséquent,
SmA^=|^,
en supposant que les aires Az soient nulles pour ^ = 0. On a donc le théorème suivant :
Théorème. — Si la somme des mo7nents des forces extérieures par rapport à un axe fixe passant par Vorigine des rajfons vecteurs est C07istamment nulle, la somme des produits que l'on obtient en multipliant la masse de chaque point matériel par Vaire que décrit la projection de son rayon vecteur sur un plan perpendiculaire à cet axe varie proportionnellement au temps.
191. Si l'on a en même temps les trois équations : S (Zy — Y.3:) -= 0, S (X^ — Zx) = 0, S (Y^ — Xy) = 0,
ce qui arrivera lorsqu'il n'y a pas de forces extérieures, ou, en général, lorsque le couple résultant de la translation de ces forces à l'origine est nul à chaque instant, nous aurons la même propriété pour chacun des trois plans coordonnés. Elle aura donc lieu pour un plan fixe quelconque, et nous aurons le théorème suivant :
Théorème* — Lorsque dans un système matériel en mouve'inent, il n'y a pas de forces extérieures, ou lorsque Taxe du couple résultant de ces forces relatif à une origine quelconque est nul, la somme des produits que Von obtient en multipliant la masse de chaque point TTmtériel pwr Vaire décrite par la projection de son rayon vecteur sur un plan fixe quelconque variera proportionnellement au temps^
Cest on cola (|ue consiste le théorème des aires, ou le principe de la conservation des aires.
On a alors les équations (n" 188) :
., / dx dz\ ^, / dy dx\
On les appelle les intégrales des aires.
Il est bon de renianj[U(T ici que, s'il arrive des chocs entre les différents corps du système, ou des explosions, ces trois dernières équations ne seront pas modifiées, puisque ces phénomènes introduisent des forces égales et de sens contraires qui disparaissent dans les équations (()) {\f 184).
Plan du maximum des aires.
192. Supi)OSons unsystèmcî satisfaisnnt aux conditions énoncées ci-dessus {\f 191), c'(»st-à-dire tel que Taxcî du couple résultant des forces extérieures soit nul, et considérons les aires élémentaires décrites dans l'espace pendant un élément de t(nnps par les rayons vecteurs qui joig-nent le point aux divers points du système ; les projections de ces aires sur un plan sont l(^s aires décritc^s dans ce même temi)s par les rayons vecteurs des projections des points sur ce plan.
Soient dkx, dky, dXz les projections d'une de ces aires élémentaires sur les plans coordonnés, menés par le i)oint ; la [)rojection de cette aire sur un plan P faisant des angles a, jS, y avec les plans coordonnés sera donnée par la fornmle :
dAp == dAff^ . cos a + rfAy . ces [3 + dXz . ces y, de la(|iielle on tire, en intégrant :
Ap = Ax cos a + A^j cos |3 + Az cos y ; par consé([iient,
l;>?.Ap = cos a ï;2iA^ + cos [3 X;??.Ay + cos y lînAs.
Or, dans le cas particulier que nous avons examiné (n" 191), on a (n^ 188) :
par suite,
":LmAp = ,j t [c' cos a + c' cos ,3 + c cos y).
Dans cette équation le coetïicient de t est constant, lorsque le plan P est donné : cette formule est conforme au théorème énoncé plus haut (n"" 191).
193. On peut d'ailleurs mettre cette équation sous la forme suivimte :
1 Id^ d c \
SmAp = ^ ht ( ^ cos a + -^ cos ? + ^ cos y j ,
en posant :
Or, on peut considérer y» -r» -t comme les cosinus
des angles que fait avec les axes coordonnés une certaine droite 01, dont la direction est, par conséquent, indépendante de la position du plan P. Si donc nous imaginons un plan û perpendiculaire à cette droite 01, la position de ce plan est indépendante de la position du plan P, et en désignant par l'angle qu'il fait avec le plan P, on a :
cos G = pcos a + y cos p + -T cos Y ;
par suite,
SmAp = ^ ft^cosG.
Donc, la somme des produits que Von obtient en multipliant les masses des différents points matériels par les aires correspondantes décrites sur le plan P,
est égale au produit de ^ kt par le cosinus de Vangle
que fait le plan P avec le plan fixe û.
194. La quantité k étant indépendante de la position du plan P, on voit que SmAp sera maximum lorsque l'an aura 6 « 0, c'est-à-dire quand le plan P coïncidera avec le plan 12 ; on aura alors :
SmAp = 2 *'•
Donc, il existe un plan fixe tel que la somme des aires décrites pendant un temps quelconque par les projections des rayons vecteurs des différents points sur ce plan y multipliées par les masses de ces points ^ est plus grande que pour tout autre plan de projection.
Ce plan est toujours le même, quel que soit le temps écoulé. On l'appelle le plan du maximum des aires : c'est le plan invariable de Laplace, Sa position est •déterminée par les formules :
COS /. =« ^ , COS a ==
cosu =
il coïncide donc avec le plan du couple résultant des quantités de mouvement, et il a pour équation :
c"x 4- c'y + cz — 0^
Remarque. — Il est évident que le théorème des aires subsiste, comme celui des moments des quantités de mouvement, dans le mouvement relatif du système autour du centre de gravité.
Théorème des forces vives.
195. Nous avons vu, dans le mouvement d'un point matériel libre (n^* 38), que raccroissement de force vive d'un point matériel pendant un certain temps est égal au douille du travail de la force ïnotrice (ou de la résultante des forces appliquées) pendant ce temps. D'après cela, l'équation différentielle des forces vives pour un point matériel lihre est :
^ drnv^ = Xdx + Ydi/ + Idz.
Or, dans un système matéric^l, nous pouvons considérer chacun des points comme lil)re, et sollicité par toutes les forces extérieures et intérieures. Nous pouvons alors appliquer à cliacun de ces points rendu li)>re le théorème que nous venons de rapi)eler, et nous aurons, pour le système, l'équation :
\ dï.mv^ = S {Xdœ + Ydy + Zdz),
dans laquelle X, Y, Z sont les composantes de l'une quelconque des forces extérieures ou intérieures. Le signe 2 du premier membre se rapporte à tous les points du système, celui du second membre ri toutes les forces.
En intégrant, on a :
Observons (iiie le second membre renferme toutes les forces extérieures et intérieures, y compris les forces (jui tiennent lieu des liaisons.
Nous appellerons force vice totale du système, la somme des forces vives des différents points de ce système, et nous aurons le théorème suivant, qui est le théorème des fo7'ces vives :
Théorème. — Uacci-oissement de la force riv>e totale d'un sijstèrne matériel en mouvement j^endant un temps donné est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces tant intérieures qu'extérieures qui agissent sur les différents poi^its du système penda^yi ce temps.
196. Remarque. — (Jbservons ici que, si certains points sont assujettis à se mouvoir sur des surfaces ou sur des cour])es fixes sans frott(/ment, le travail des réactions normales est nul.
Nous dc^vons enc.'orcî reman^uer que les forces intérieures ne disparaissent pas d'elles-niémes dans le théorèine des forces viv(»s comme dans les autres théorèmes gx'^néraux. Nous savons en effet (I, \f 379), (|ue la somme des travaux élémentaires des deux forces ég-ales et de sens contraires qui se dévelo})pent entredeux points mat('Ti(ds, n'est égale à zéro ([ue si la distance de ces deux points ne varie i)as. Par conséquent, la somme des tnivaux des forces intérieurc^s d'un système est, en général, différente de zéro, et cette somme entrera dans l'équation des forcées vives.
197. On peut encore obtenir le théorème des forces vives en s'appuyant sur le théorème de d'Alembert. Nous avons vu que ce théorème nous donne l'équation suivante :
dans laquelle X, Y, Z désignent les composantes de toutes les forces qui agissent sur le système, à l'exception des forces qui tiennent lieu des liaisons, $œ, dy, Sz,... devant être compatibles avec ces liaisons.
Nous avons vu (n° 165) que, si les équations de liaisons ne renferment pas explicitement le temps, le déplacement effectif sera un déplacement compatible avec les liaisons du système, et l'on pourra poser :
Zx = dœ, ùy =Bs dy, oz « dz^ ...
L'équation de Lagrange nous donne alors :
+ (z m||)rfz] = 0.
ou bien :
Sm ^ ;^^,-^ »= S [Xdœ + Ydy + Zdz\^
et, en intégrant,
^ Sm^2 ^ ^77iVq^ = S / (Xdœ + Ydy + Zdz).
C'est Xéquation des forces vives dans le cas où les liaisons ne renferment pas explicitement le teynps. Le second membre de cette équation ne renferme que les forces qui agissent sur le système (y compris les forces intérieures), à Texclusion des forces de liaisons.
Ainsi donc, dans le cas où les liaisons ne renferment pas explicitement le temps, l'équation des forces vives ne renferme pas les forces de liaisons.
198. Si, au contraire, une ou plusieurs des équations de liaisons renfermaient explicitement le temps, le déplacement réel ne serait pas compatible avec les liaisons : le calcul que nous venons de faire n'est plus applicable. Pour que l'on puisse identifier le déplacement réel à un déplacement virtuel, il faudrait que les Sx, dy, 3z,... ftissent complètement arbitraires.
Or, il est possible de donner à l'équation de Lagrange une forme telle que les $x, $y, iz,...j soient tout à fait arbitraires.
En effet, si nous désignons par Xj, Y,, Z^ les composantes de la force totale, résultante des forces extérieures, des actions mutuelles et des forces tenant lieu des liaisons, pour le point m, nous aurons l'équation :
On ol)ticnt cette équation de la manière suivante : le point m pouvant être considéré comme libre sous Faction de la force Xj, Yj, Z^, on a pour ce point :
d^x dHf dh
on ol)tient des équations analogues pour chacun des points du sj'stéme rendu Iil)re. Or, en multipliant chacun des groupes par èx, Sy, dz et ajoutant, on trouve l'équation précédente.
Cela posé, si, dans cette équation où les $x, (î//, Sz,.,, sont arbitraires, on remplace . c^^r, r^i/, Sz,... par dx, dij, dz,..., on aura ré([uation :
^ dxd'X + df/d-y + dzd-z ^ .^^ 7 . a- 7 ■ rz ^ ,
Ce sera Yéquation différentielle des forces vives.
199. On pourra stq)arer dans le second membre les termes qui se rapportent aux trois espèces de forces. En désignant par X, Y, Z les composantes de la forc(^ extérieure au point m, par X', Y', Z' les composantes de la force qui tient lieu des liaisons, les termes du second membre qui se rapportent à ces deux espèces de forces seront :
1 (Xdx + Xdy + "^dz), et S [X:dx + Y'rfy H- Z'dz),
D'autre part, si l'on désigne par mm'f{r) les actions mutuelles exercées entre les deux points m et m\ ces forces étant appliquées l'une en m, l'autre en m\
le travail (Uémcntairc de raction mutuelle de ces deux molécules sera — mm' f(^r)clr \ dom% la somme des travaux des actions mutuelles sera :
et nous aurons pour l'intégrale des forces vives :
I I.mv''~ Sm^o' = y] f(Xdx + \dy + Zdz
+ V foCdx + Ydy + T^d.
— ^min' I fir) dr.
200. Lorsque les liaisons sont indépendantes du temps, 1(^ second terme du secoiid membre est nul, parce qu'il correspond à des forces ([ui sont normales aux chemins réellement parcourus (n"^ 164 et 165), (ît l'on a aloi'S l'équation :
I S/nt^^ — \ Ziavo^ = V fiXdx + \dy + Zdz)
— yinim' I f (r) dr.
C'est l'équation que nous aurions trouvée par le premier procédé (n"^ 197), si nous avions séparé dans l'équation les termes correspondant aux forces extérieures et ceux qui correspondent aux forces intérieures.
201. Reprenons l'équation des forces vives sous la forme (n** 197) :
t i Imv^ — i ILmv^^ = V fçLdx + Ydy + Zdz),
en supposant que les liaisons ne renfeinnent pas explicitement le temps. Nous savons que, dans ce cas, X, Y, Z sont les composantes de l'une quelconque des forces intérieures ou extérieures du système ; d'ailleurs, le signe S du premier membre se rapporte à tous les points du système, et celui du second membre à toutes les forces extérieures et intérieures.
Supposons qu'il existe une fonction de force U^ ne renfermant pas explicitement le temps, c'est-à-dire une fonction dont les dérivées partielles prises par rapport aux coordonnées x, y, z d'un point soient égales aux composantes X, Y, Z de la force appliquée en ce point; en d'autres termes, supposons que la quantité 2 ÇLdx -f Ydy 4- Zdz) soit la différentielle exacte d'une fonction U. Nous aurons alors :
ILmv^ — Smi?o* = 2D — 2Uo, ou bien :
h étant une constante. Cette équation s'appelle V intégrale des forces vives : on dit alors que Yintégrale des forces vives existe. On peut la mettre sons la forme :
c'est une intégrale première des équations du mouvement. Nous aurons le théorème suivant :
Théorème. — Dans un système soumis à des liaisons indépendantes du temps, et pour lequel il existe une fbnclion de force également indépendante du temps, la force vive du système est égale au double de la fonction de force augmentée d'une constante.
Ce théorème a été énoncé pour la première fois par Daniel Bernoulh.
202. On voit que, dans ce cas, la force vive du système ne dépend que des coordonnées des différents points. Si, à deux époques différentes, les points du système repassent par les mêmes positions, la force vive à ces deux époques reprend la même valeur : elle est indépendante des trajectoires des différents points entre ces deux époques.
C'est en cela que consiste le principe de la conservation des forces vives. Il a lieu lorsqu'il existe une fonction de force. Le mot conservation se rapporte à cette indépendance de la forme du chemin parcouru, ou, ce qui est la même chose, des équations de condition, puisque la forme du chemin parcouru dépend des équations de condition.
C'est ce qui arrivera lorsque le système n'est sollicité que par des actions mutuelles (forces attractives ou répulsives) égales et de sens contraires, et fonctions des distances mutuelles. En effet, on a alors pour deux points :
Xdx + Ydy + lÂz + X'rf^r' + Ydy' + 11 dz' = — mm' f[r) dr,
et l'équation des forces vives nous donne :
t ^ I^mv^ — p S^^^o^ = — ^^ / ^^w'/*M dr.
C'est ce qui arrivera encore lorsque les forces extérieures sont des forces attractives ou . répulsiTes dirigées vers des centres fixes, ces forces étant des fonctions des distances aux centres fixes. Car, on a alors, comme nous l'avons vu (n** 50) pour chacune de ces forces :
^dx + Ycly + Zdz = — F (r) dr,
expression qui est une différentielle exacte.
203. Re[)renons encore ré(iuation des forces vives (n° 195), et distinguons dans le second membre les termes relatifs aux forces extérieures et ceux qui se rapportent aux forces intérieures ; nous aurons :
l yimv' — l yimvo* = tbFe + S^F^
Or, on a :
:^Fî = — y] fmm'f{r) dr,
ou bien, en posant :
f{r) dr = d(f (r), il vient :
Mais, la fonction 9 (r) étant évidemment une fonction des coordonnées x^ y, z, x\ y\ z^ des deux points m et m', nous pourrons poser :
Sm?;^'q^(r) = Il [œ, y, z, x\ y\ z\ ...),
et nous aurons :
YADYi=^--\V[x,y,z,x\y\z\.,)-\'XV[Xç,,y^,Zç,,x\,y\,z\,,.>i
en désignant par H^ et n les valeurs de la fonction II aux deux époques et t.
L'équation des forces vives est alors :
I Smi;« — ^ ^mt\^ = ^Ye + n^ — 11.
204. Remarque I. — La fonction II ne varie pas lorsque les distances r restent constantes : c'est ce qui arrivera pour un corps solide en mouvement ; par conséquent, pour un corps solide en mouvement et soumis à l'action de forces extérieures, nous aurons :
Donc, Vaccroisseynent de la force vive totale d'un solide pendant un certain temps est égal au double de la somme des travaux des forces extérieures pendant ce temps.
En particulier, si aucwie force extérieure n'agit sur le corps solide en mouvement, sa force vive totale reste constante.
205. Remarque IL — Si un système matériel se déforme pendant le mouvement, mais en repassant périodiquement par la même figure après des intervalles
de temps déterminés, la fonction II — 11^ sera nulle, si les temps et ^ correspondent au commencement et à la fin de ces intervalles, et nous aurons encore l'équation :
On a donc le théorème suivant :
Théorème. — Quand un systè'ine matériel quelconque en mouvement reprend la 7nême figure après des infervalles de temps déterminés, la variation de la force vive totale pendant un de ces intervalles est égale au double de la somme des travaux des forces extérieures pendant ce temps.
En particulier, s'il n'y a pas de force extérieure, la force vive totale reprend la même valeur chaque fois que le système reprend la même figure.
