Remarque III. — Le théorème exprimé par l'équation
I i:mv^ — ^ Smî;o* — S^F^ + IIo — n,
peut être énoncé sous une forme qu'il est utile de connaître.
Nous appellerons énergie actuelle d'un système la demi somme des forces vives de tous ses points à un instant donné : nous la désignerons par T; énergie potentielle la quantité II dont la diflférentîelle prise en sipfne contraire mesure la somme des travaux élémentaires des forces intérieures (n* 203). Nous appellerons énergie totale d'un sjrstème la somme de son énergie actuelle et de son énergie potentielle. Ces dénominations sont dues à M. Rankine.
L'équation ci-dessus nous donne :
} I,mv^ + n) - g ^mv* + n,) = S^p„ ou bien, en posant \ £m»* = T, •
On en conclut que, dans tout système matériel en mouvement, la variation de Vénergie totale pendmt un certatn^temps est égale à la somme des trarnuœ dZ forces extérieures pendant ce temps.
En particulier, si aucune force extérieure n'agit sur le système, on a : ^ "^
Or, le second membre de cette équation étant indépendant de t, il en résulte que le premier meS est coûtant. Donc, Vénergie totale d^un système
Si l'on considère l'univers comme un système de points matériels soumis exclusivement à leurs actions mutuelles on conclut du théorème précédent que l énergie totale de Vunivers est une quantité constante.
207. Il est Me de s'assurer que le théorème des forces vives a heu par rapport au centre de aravUé comme s'il était fixe. gravite.
Soient a; y^, z, les coordonnées du centre de cavité d,y, z' les coordonnées d'un point m du corps ^^
rapport à trois axes menés par le centre de gravité parallèlement aux axes fixes. Nous aurons :
d'où :
Mais, l'origine des coordonnées x\ y\ z' étant au centre de gravité, on a (I, n° 323) :
"Sl^^ix' = 0, }lmy' = 0, S??^3;' = ;
par suite,
dt dt dt
Par conséquent, en désignant par V la vitesse du centre de gravité, par u la vitesse relative du point m par rapport au centre de gravité, on a :
Cette formule nous donne le théorème suivant :
Théorème de Koenio. — La force vive totale d'un système matériel est égale à la force vive dit systmne par rapport à son centre de gravité^ augmentée de la force vive du centre de gravité où Von supposerait toute la 77iasse concentrée.
D'autre part, nous avons aussi :
2 {Xdx + Xdy + Zdz\
-= S [Xrf (a?i + 0?') + Yrf (y, + y') + ZC? f;?! + ^')]
-=-• S (Xcte' + Xdy' + Zdz") + cte^SX + dy;ïX + dz^SZ.
Mais, si l'on applique le théorème des forces vives au mouvement du centre de gravité (a?^, y^ z^ sous l'action de la force SX, SY, SZ, on a (n^ 39) :
et, par conséquent, il vient :
SiXcte+ Y(?y 4- Zdz) = | rfMV» + S {Xdœ' + Ydy' + Idz"!,
L'équation différentielle des forces vives (n*^ 195) :
^ d'Lmv^ = S ÇLdx + Ydy + Zdz],
nous donne alors :
^rfMV + ^cŒmw» « I rfMV^ + S pCrfa?' + Yrfy' + Zrf^);
par suite, on a :
I rfSmw^ = S (Xdx' + Ydy' + Zdzl
ou bien, en intégrant,
et la propriété est démontré©.
Remarque. — La fonction II ne dépendant que des distances des différents points du système, ne change pas de valeur quand on rapporte le système aux axes parallèles du centre de gravité. Il en sera donc de même de l'expression n^ — II du travail des forces intérieures. Donc, le travail des forces intérieures est le même dans le mouvement absolu et dans le mouveme^it relatif au centre de gravité.
Théorème de la raoindre action.
208. Supposons un système matériel pour lequel l'intégrale des forces vives existe, c'est-à-dire tel que les équations de liaisons ne renferment pas explicitement le temps, et qu'il existe une fonction de force ne renfermant pas explicitement le temps. Nous aurons :
Smv» -= 2U + A.
Considérons les différents mouvements par lesquels le système peut passer d'une de ses positions à une autre, en satisfaisant aux équations de liaisons, et formons pour chacun de ces mouvements la somme
y^ I mvds
des produits des quantités de mouvement de chaque point du système par les arcs élémentaires qu'il décrit successivement sur sa trajectoire réelle ou sur sa trajectoire fictive. Le théorème de la moindre action consiste en ce que cette somme sera un minimum pour le )nouve7nent effectif.
Nous avons donc à démontrer que l'on a, pour le mouvement effectif:
oV =-= 5^ / 7nvds = 0.
Or, on a :
5v »= 5^ /mî?cb= ^] i iuovds + ^^1 mvZds ;
mais,
^ / m^vds = ^ / 7nvovdê = / dt^mvlv.
D'ailleurs, l'équation des forces vives :
"Lmv^ = 2U + A,
nous donne :
"Zmvùv = 5U = S (XSo? + Yly + Zoz) ;
donc,
^ fmlvds «y V(X5a? + YSî/ + 2Zz) dt.
Pour transformer la seconde intégrale de 5V, observons que l'équation :
rfs« — rfa?« + dy* + di^.
nous donne :
fto8c?5 = dxodx + dyody + dzZdZj
d'où :
dt ' dt ^ ^ dt
Par conséquent,
^fmvcd^ = ^fm § Uœ + ^fm J Zdy
dz •>
Or, on a, en intégrant par parties :
Par suite,
av = i:,n(^8. + |s^ + gô.)
Mais, le premier terme du second membre est nul aux limites, puisque les positions extrêmes de chacun des points du système sont supposées fixes. D'autre part, pour le mouvement effectif, on a, en vertu de l'équation de Lagrange :
Par conséquent, pour le mouvement effectif, on a 5V = ; or, cette condition exprime que la fonction V est un minimum, puisque cette fonction n'a évidemment pas de maximum.
